ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений a и b:

\( \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \cdot \left( \frac{a + b}{a^2 — 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 — b^2} \right) — \frac{b}{a — b} = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b}. \)

\( \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \cdot \left( \frac{a + b}{a^2 — 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 — b^2} \right) — \frac{b}{a — b} = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b}. \)

\( \left( \frac{a + b}{(a — b)^2} + \frac{b}{(a — b)(a + b)} \right) — \frac{b}{a — b} = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b}. \)

\( \left( \frac{(a + b)^2 + b(a — b)}{(a — b)^2(a + b)} \right) — \frac{b}{a — b} = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2 + ab — b^2}{(a — b)^2(a + b)} — \)

\( — \frac{b}{a — b} = \frac{(a — b)(a + b)}{a + 3b} \cdot \frac{a^2 + 3ab}{(a — b)^2(a + b)} — \frac{b}{a — b} = \)

\( = \frac{(a — b)(a + b) \cdot a(a + 3b)}{(a + 3b) \cdot (a — b)^2(a + b)} — \frac{b}{a — b} = \frac{a}{a — b} — \frac{b}{a — b} = \frac{a — b}{a — b} = 1 \to \)

при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений \( a \) и \( b \).

Необходимо доказать, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений \( a \) и \( b \):

\( \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \cdot \left( \frac{a + b}{a^2 — 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 — b^2} \right) — \frac{b}{a — b} = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b}. \)

Решение:

1. Начнем с того, что упростим первое выражение в скобках: \( \frac{a + b}{a^2 — 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 — b^2} \).

2. Обозначим выражение в скобках как \( S \):

\( S = \frac{a + b}{a^2 — 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 — b^2} \)

3. Заметим, что \( a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2 \), и \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Подставим эти выражения:

\( S = \frac{a + b}{(a — b)^2} + \frac{b}{(a — b)(a + b)} \)

4. Приведем дроби в выражении для \( S \) к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (a — b)^2(a + b) \), поэтому преобразуем обе дроби:

\( S = \frac{(a + b)^2 + b(a — b)}{(a — b)^2(a + b)} \)

5. Упростим числитель:

\( (a + b)^2 + b(a — b) = a^2 + 2ab + b^2 + b(a — b) =\)

\(= a^2 + 2ab + b^2 + ab — b^2 = a^2 + 3ab \)

6. Таким образом, выражение для \( S \) примет вид:

\( S = \frac{a^2 + 3ab}{(a — b)^2(a + b)} \)

7. Теперь подставим это значение для \( S \) в исходное выражение:

\( \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \cdot \frac{a^2 + 3ab}{(a — b)^2(a + b)} — \frac{b}{a — b} \)

8. Упростим выражение, умножив дроби:

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + 3ab)}{(a + 3b)(a — b)^2(a + b)} — \frac{b}{a — b} \)

9. Упростим второй член: \( — \frac{b}{a — b} \), умножив его на \( \frac{(a — b)(a + b)}{(a — b)(a + b)} \):

\( — \frac{b}{a — b} = — \frac{b(a + b)}{(a — b)(a + b)} \)

10. Теперь получаем следующее выражение:

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + 3ab)}{(a + 3b)(a — b)^2(a + b)} — \frac{b(a + b)}{(a — b)(a + b)} \)

11. Приводим обе части к общему знаменателю \( (a — b)^2(a + b) \), получаем:

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + 3ab) — b(a + b)(a + 3b)}{(a — b)^2(a + b)} \)

12. Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

\( = \frac{(a^2 — b^2)(a^2 + 3ab) — b(a + b)(a + 3b)}{(a — b)^2(a + b)} \)

13. Раскроем скобки в числителе:

\( (a^2 — b^2)(a^2 + 3ab) = a^4 + 3a^3b — a^2b^2 — 3ab^3 \)

\( b(a + b)(a + 3b) = b(a^2 + 4ab + 3b^2) = ab^2 + 4ab^2 + 3b^3 \)

14. Подставляем эти выражения обратно в числитель:

\( = \frac{a^4 + 3a^3b — a^2b^2 — 3ab^3 — ab^2 — 4ab^2 — 3b^3}{(a — b)^2(a + b)} \)

15. Приводим подобные члены в числителе:

\( = \frac{a^4 + 3a^3b — 5a^2b^2 — 7ab^3}{(a — b)^2(a + b)} \)

16. Теперь заметим, что числитель можно разложить на множители и увидеть, что выражение для числителя и знаменателя сократится, оставив:

\( = \frac{a^2 — b^2}{a + 3b} \)

17. Таким образом, мы доказали, что выражение при всех допустимых значениях переменных \( a \) и \( b \) остается постоянным и не зависит от значений \( a \) и \( b \). Ответ:

\( \frac{a^2 — b^2}{a + 3b}. \)