ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\( \frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x — 10} = \frac{5}{x^2 — 25}. \)

\( \frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x — 10} = \frac{5}{x^2 — 25}. \)

\( \frac{3}{(x + 5)} + \frac{1}{2(x — 5)} = \frac{5}{(x — 5)(x + 5)} \)

\( \frac{3 \cdot 2(x — 5) + (x + 5)}{2(x — 5)(x + 5)} — \frac{5}{(x — 5)(x + 5)} = 0 \)

\( \frac{6x — 30 + x + 5}{2(x — 5)(x + 5)} — \frac{5}{(x — 5)(x + 5)} = 0 \)

\( \frac{7x — 25 — 5 \cdot 2}{2(x — 5)(x + 5)} = 0 \)

\( \frac{7x — 35}{2(x — 5)(x + 5)} = 0; \)

\( \begin{cases} 7x — 35 = 0 \\ x — 5 \ne 0 \\ x + 5 \ne 0 \end{cases} \quad \begin{cases} 7x = 35 \\ x \ne 5 \\ x \ne -5 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 5 \\ x \ne 5 \\ x \ne -5 \end{cases}. \)

Ответ: корней нет.

Необходимо решить уравнение:

\( \frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x — 10} = \frac{5}{x^2 — 25}. \)

Решение:

1. Начнем с того, что заметим, что выражение в знаменателях можно упростить. Например, \( 5x + 25 = 5(x + 5) \), а \( 2x — 10 = 2(x — 5) \), и \( x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5) \). Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( \frac{3}{5(x + 5)} + \frac{1}{2(x — 5)} = \frac{5}{(x — 5)(x + 5)}. \)

2. Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для всех дробей будет \( 2 \cdot 5 \cdot (x — 5)(x + 5) = 10(x — 5)(x + 5) \). Приводим каждую дробь к этому общему знаменателю:

\( \frac{3}{5(x + 5)} = \frac{3 \cdot 2(x — 5)}{10(x — 5)(x + 5)}, \quad \frac{1}{2(x — 5)} = \frac{5(x + 5)}{10(x — 5)(x + 5)}, \quad \frac{5}{(x — 5)(x + 5)} =\)

\(= \frac{50}{10(x — 5)(x + 5)}. \)

3. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( \frac{3 \cdot 2(x — 5)}{10(x — 5)(x + 5)} + \frac{5(x + 5)}{10(x — 5)(x + 5)} = \frac{50}{10(x — 5)(x + 5)}. \)

4. Поскольку все дроби имеют общий знаменатель \( 10(x — 5)(x + 5) \), можно привести их к единому числителю:

\( \frac{6(x — 5) + 5(x + 5)}{10(x — 5)(x + 5)} = \frac{50}{10(x — 5)(x + 5)}. \)

5. Упростим числитель слева:

\( 6(x — 5) = 6x — 30, \quad 5(x + 5) = 5x + 25, \quad 6x — 30 + 5x + 25 =\)

\(= 11x — 5. \)

6. Таким образом, уравнение становится:

\( \frac{11x — 5}{10(x — 5)(x + 5)} = \frac{50}{10(x — 5)(x + 5)}. \)

7. Теперь, так как знаменатели одинаковы, можно приравнять числители:

\( 11x — 5 = 50. \)

8. Решаем полученное линейное уравнение:

\( 11x = 50 + 5 = 55, \quad x = \frac{55}{11} = 5. \)

9. Однако, подставляем найденное значение \( x = 5 \) в исходное уравнение. Мы видим, что при \( x = 5 \) знаменатель в обеих дробях обращается в ноль, так как \( x — 5 = 0 \). Следовательно, \( x = 5 \) является недопустимым решением.

Ответ: корней нет, так как \( x = 5 \) приводит к делению на ноль.