ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 42.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Задача Сунь-Цзы.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получит первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получит второй, прибавить \( \frac{2}{3}\) монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин?

Пусть один мужчина получил \( x \) монет, а второй — \( y \) монет.

Если к монетам первого мужчины прибавить \( 0{,}5y \) монет второго,
то у первого будет \( (x + 0{,}5y) \) монет, что равно 48 монетам.

Если к монетам второго мужчины прибавить \( \frac{2}{3}x \) монет первого,
то у второго будет \( \left(y + \frac{2}{3}x\right) \) монет, что равно 48 монетам.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + 0{,}5y = 48 \\ y + \frac{2}{3}x = 48 \end{cases} \quad
\begin{cases} 2x + y = 96 \\ 3y + 2x = 144 \end{cases} \quad
\begin{cases} -2y = -48 \\ 2x + y = 96 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 24 \\ 2x = 96 — y \end{cases} \quad
\begin{cases} y = 24 \\ 2x = 72 \end{cases} \quad
\begin{cases} x = 36 \\ y = 24. \end{cases} \)

Значит, первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.

Ответ: 36 монет и 24 монеты.

1. Пусть первый мужчина получил \( x \) монет, а второй — \( y \) монет.

2. Согласно условию задачи, если к монетам первого мужчины прибавить половину монет второго, то получим 48 монет. Это можно записать как:

\( x + 0{,}5y = 48. \)

3. Аналогично, если к монетам второго мужчины прибавить \( \frac{2}{3} \) монет первого, то получим 48 монет. Это записываем как:

\( y + \frac{2}{3}x = 48. \)

Таким образом, у нас получается система уравнений:

\( \begin{cases} x + 0{,}5y = 48 \\ y + \frac{2}{3}x = 48 \end{cases} \)

4. Умножим оба уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей. Получим:

\( \begin{cases} 6x + 3y = 288 \\ 6y + 4x = 288 \end{cases} \)

5. Перепишем систему уравнений для удобства:

\( \begin{cases} 6x + 3y = 288 \\ 4x + 6y = 288 \end{cases} \)

6. Теперь умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения:

\( 2(6x + 3y) = 2 \cdot 288 \), то есть \( 12x + 6y = 576 \).

Теперь вычитаем второе уравнение из полученного:

\( (12x + 6y) — (4x + 6y) = 576 — 288. \)

7. Упростим полученное уравнение:

\( 8x = 288 \), откуда \( x = \frac{288}{8} = 36. \)

8. Подставим найденное значение \( x = 36 \) в одно из исходных уравнений, например, в первое:

\( 36 + 0{,}5y = 48 \).

9. Решим это уравнение относительно \( y \):

\( 0{,}5y = 48 — 36 = 12, \quad y = \frac{12}{0{,}5} = 24. \)

10. Таким образом, первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.

Ответ: первый мужчина получил 36 монет, второй — 24 монеты.