ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не является тождеством равенство:

1) \( (a + 3)^2 = a^2 + 9 \)

2) \( (b — 1)(b + 1) = (b — 1)b + 1 \)

3) \( (c + 1)^3 = c^3 + 1 \)

4) \( |m| — |n| = |n| — |m| \)

1) \( (a + 3)^2 = a^2 + 9 \)

\( a^2 + 6a + 9 = a^2 + 9 \) ⇒ не является тождеством.

2) \( (b — 1)(b + 1) = (b — 1)b + 1 \)

\( b^2 + b — b — 1 = b^2 — b + 1 \)

\( b^2 — 1 = b^2 — b + 1 \) ⇒ не является тождеством.

3) \( (c + 1)^3 = c^3 + 1 \)

\( (c + 1)(c + 1)(c + 1) = c^3 + 1 \)

\( (c^2 + c + c + 1)(c + 1) = c^3 + 1 \)

\( (c^2 + 2c + 1)(c + 1) = c^3 + 1 \)

\( c^3 + c^2 + 2c^2 + 2c + c + 1 = c^3 + 1 \)

\( c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 1 \) ⇒ не является тождеством.

4) \( |m| — |n| = |n| — |m| \)

\( -(|n| — |m|) = |n| — |m| \) ⇒ не является тождеством.

Нужно доказать, что каждое из данных равенств не является тождеством.

Определение: равенство называется тождеством, если оно верно при всех допустимых значениях переменных.

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно допустимое значение переменной (или переменных), при котором левая часть не равна правой части. Такое значение называется контрпримером.

Далее для каждого пункта: преобразуем левую часть, сравним с правой частью и (или) подберём значение, при котором равенство нарушается.

1) \( (a + 3)^2 = a^2 + 9 \)

Рассмотрим левую часть. По формуле квадрата суммы:

\( (a + 3)^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot 3 + 3^2 \)

\( (a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9 \)

Тогда исходное равенство принимает вид:

\( a^2 + 6a + 9 = a^2 + 9 \)

Вычтем из обеих частей \(a^2\):

\( 6a + 9 = 9 \)

Вычтем 9 из обеих частей:

\( 6a = 0 \)

Разделим обе части на 6:

\( a = 0 \)

Получилось, что равенство может быть верным только при \(a = 0\), а тождество должно выполняться при всех \(a\).

Покажем контрпример. Возьмём, например, \(a = 1\).

Левая часть: \( (1 + 3)^2 = 4^2 = 16 \).

Правая часть: \( 1^2 + 9 = 1 + 9 = 10 \).

\( 16 \neq 10 \), значит равенство не верно при \(a = 1\).

Следовательно, \( (a + 3)^2 = a^2 + 9 \) не является тождеством.

2) \( (b — 1)(b + 1) = (b — 1)b + 1 \)

Преобразуем левую часть. По формуле разности квадратов:

\( (b — 1)(b + 1) = b^2 — 1 \)

Преобразуем правую часть (раскроем скобки):

\( (b — 1)b + 1 = b(b — 1) + 1 \)

\( (b — 1)b + 1 = b^2 — b + 1 \)

Тогда равенство становится:

\( b^2 — 1 = b^2 — b + 1 \)

Вычтем \(b^2\) из обеих частей:

\( -1 = -b + 1 \)

Вычтем 1 из обеих частей:

\( -2 = -b \)

Умножим обе части на \(-1\):

\( 2 = b \)

Получилось, что равенство возможно только при \(b = 2\), значит оно не может быть тождеством.

Покажем контрпример. Возьмём \(b = 0\).

Левая часть: \( (0 — 1)(0 + 1) = (-1)\cdot 1 = -1 \).

Правая часть: \( (0 — 1)\cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1 \).

\( -1 \neq 1 \), равенство неверно при \(b = 0\).

Следовательно, \( (b — 1)(b + 1) = (b — 1)b + 1 \) не является тождеством.

3) \( (c + 1)^3 = c^3 + 1 \)

Рассмотрим левую часть. По формуле куба суммы:

\( (c + 1)^3 = c^3 + 3c^2\cdot 1 + 3c\cdot 1^2 + 1^3 \)

\( (c + 1)^3 = c^3 + 3c^2 + 3c + 1 \)

Тогда исходное равенство становится:

\( c^3 + 3c^2 + 3c + 1 = c^3 + 1 \)

Вычтем \(c^3\) из обеих частей:

\( 3c^2 + 3c + 1 = 1 \)

Вычтем 1 из обеих частей:

\( 3c^2 + 3c = 0 \)

Вынесем общий множитель \(3c\):

\( 3c(c + 1) = 0 \)

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\( 3c = 0 \) или \( c + 1 = 0 \)

Из \( 3c = 0 \) получаем \( c = 0 \).

Из \( c + 1 = 0 \) получаем \( c = -1 \).

Значит равенство выполняется только при \(c = 0\) или \(c = -1\), а не при всех \(c\), поэтому оно не тождественно.

Покажем контрпример. Возьмём \(c = 1\).

Левая часть: \( (1 + 1)^3 = 2^3 = 8 \).

Правая часть: \( 1^3 + 1 = 1 + 1 = 2 \).

\( 8 \neq 2 \), равенство неверно при \(c = 1\).

Следовательно, \( (c + 1)^3 = c^3 + 1 \) не является тождеством.

4) \( |m| — |n| = |n| — |m| \)

Перенесём всё в одну сторону (вычтем правую часть из левой):

\( (|m| — |n|) — (|n| — |m|) = 0 \)

Раскроем скобки:

\( |m| — |n| — |n| + |m| = 0 \)

Соберём подобные слагаемые:

\( 2|m| — 2|n| = 0 \)

Вынесем 2:

\( 2(|m| — |n|) = 0 \)

Разделим обе части на 2:

\( |m| — |n| = 0 \)

То есть равенство эквивалентно условию:

\( |m| = |n| \)

Это условие выполняется не всегда (например, при разных по модулю числах), значит исходное равенство не может быть тождеством.

Покажем контрпример. Возьмём \(m = 2\), \(n = 1\).

Левая часть: \( |2| — |1| = 2 — 1 = 1 \).

Правая часть: \( |1| — |2| = 1 — 2 = -1 \).

\( 1 \neq -1 \), равенство неверно при \(m = 2\), \(n = 1\).

Следовательно, \( |m| — |n| = |n| — |m| \) не является тождеством.