ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не являются тождественно равными выражения:

1) \( 4 — m^2 \ne (2 — m)^2 \)

2) \( |-m| \ne m \)

3) \( m^3 + 8 \ne (m + 2)(m^2 + 4) \)

1) \( 4 — m^2 \ne (2 — m)^2 \)

\( 4 — m^2 \ne 4 — 4m + m^2 \) ⇒ не является тождеством.

2) \( |-m| \ne m \) ⇒ не является тождеством, так как, например, при \( m = -2 \): \( |-(-2)| \ne -2 \).

3) \( m^3 + 8 \ne (m + 2)(m^2 + 4) \)

\( m^3 + 8 \ne m^3 + 4m + 2m^2 + 8 \)

\( m^3 + 8 \ne m^3 + 2m^2 + 4m + 8 \) ⇒ не является тождеством.

Напоминание: тождественно равными называются два выражения, которые дают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменной.

Чтобы доказать, что выражения не тождественно равны, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором значения выражений различаются. Такое значение называется контрпримером.

1) \( 4 — m^2 \ne (2 — m)^2 \)

Сначала раскроем скобки в правой части.

По формуле квадрата разности: \( (a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \).

Здесь \( a = 2 \), \( b = m \), значит:

\( (2 — m)^2 = 2^2 — 2\cdot 2 \cdot m + m^2 \)

\( (2 — m)^2 = 4 — 4m + m^2 \)

Теперь сравним выражения:

левая часть: \( 4 — m^2 \)

правая часть: \( 4 — 4m + m^2 \)

Если бы они были тождественно равны, то при любом \(m\) выполнялось бы равенство:

\( 4 — m^2 = 4 — 4m + m^2 \)

Проверим, при каких \(m\) оно может выполняться (это покажет, что оно верно не для всех \(m\)).

Вычтем 4 из обеих частей:

\( -m^2 = -4m + m^2 \)

Перенесём всё в одну сторону (прибавим \(m^2\) к обеим частям):

\( 0 = -4m + 2m^2 \)

Вынесем общий множитель \(2m\):

\( 0 = 2m(m — 2) \)

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\( 2m = 0 \) или \( m — 2 = 0 \)

Отсюда \( m = 0 \) или \( m = 2 \).

Значит равенство \( 4 — m^2 = (2 — m)^2 \) выполняется только при \(m = 0\) или \(m = 2\), а не при всех \(m\). Следовательно, выражения не тождественно равны.

Чтобы явно показать различие, приведём контрпример. Возьмём \(m = 1\).

Левая часть: \( 4 — 1^2 = 4 — 1 = 3 \).

Правая часть: \( (2 — 1)^2 = 1^2 = 1 \).

\( 3 \ne 1 \), значит выражения дают разные значения при \(m = 1\).

Следовательно, \( 4 — m^2 \) и \( (2 — m)^2 \) не являются тождественно равными выражениями.

2) \( |-m| \ne m \)

Разберёмся со значением модуля.

По определению:

\( |x| = x \), если \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \), если \( x < 0 \).

Подставим \(x = -m\). Тогда:

\( |-m| = -m \), если \( -m \ge 0 \), то есть если \( m \le 0 \).

\( |-m| = m \), если \( -m < 0 \), то есть если \( m > 0 \).

Получаем:

при \( m > 0 \): \( |-m| = m \) (совпадает с правой частью \(m\));

при \( m \le 0 \): \( |-m| = -m \) (а это уже не равно \(m\), если \(m \ne 0\)).

Значит равенство \( |-m| = m \) не выполняется при всех \(m\), следовательно, выражения не тождественно равны.

Приведём контрпример (как в условии): возьмём \( m = -2 \).

Левая часть: \( |-(-2)| = |2| = 2 \).

Правая часть: \( m = -2 \).

\( 2 \ne -2 \), значит выражения дают разные значения при \(m = -2\).

Следовательно, \( |-m| \) и \( m \) не являются тождественно равными выражениями.

3) \( m^3 + 8 \ne (m + 2)(m^2 + 4) \)

Проверим, могут ли эти выражения быть тождественно равными. Для этого раскроем скобки в правой части:

\( (m + 2)(m^2 + 4) = m(m^2 + 4) + 2(m^2 + 4) \)

Раскроем каждую скобку:

\( m(m^2 + 4) = m\cdot m^2 + m\cdot 4 = m^3 + 4m \)

\( 2(m^2 + 4) = 2\cdot m^2 + 2\cdot 4 = 2m^2 + 8 \)

Сложим полученные результаты:

\( (m + 2)(m^2 + 4) = (m^3 + 4m) + (2m^2 + 8) \)

\( (m + 2)(m^2 + 4) = m^3 + 2m^2 + 4m + 8 \)

Теперь сравним с левой частью \( m^3 + 8 \).

Если бы выражения были тождественно равны, то при любом \(m\) должно было бы выполняться равенство:

\( m^3 + 8 = m^3 + 2m^2 + 4m + 8 \)

Вычтем \(m^3\) из обеих частей:

\( 8 = 2m^2 + 4m + 8 \)

Вычтем 8 из обеих частей:

\( 0 = 2m^2 + 4m \)

Вынесем общий множитель \(2m\):

\( 0 = 2m(m + 2) \)

Отсюда равенство возможно только при:

\( 2m = 0 \) или \( m + 2 = 0 \)

\( m = 0 \) или \( m = -2 \)

Значит равенство выполняется лишь при двух значениях \(m\), а не при всех, поэтому выражения не тождественно равны.

Покажем контрпример. Возьмём \(m = 1\).

Левая часть: \( 1^3 + 8 = 1 + 8 = 9 \).

Правая часть: \( (1 + 2)(1^2 + 4) = 3\cdot 5 = 15 \).

\( 9 \ne 15 \), значит выражения дают разные значения при \(m = 1\).

Следовательно, \( m^3 + 8 \) и \( (m + 2)(m^2 + 4) \) не являются тождественно равными выражениями.