ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. За какое время товарный поезд может преодолеть расстояние между станциями?

Пусть расстояние между двумя станциями \( S \) км. Тогда пассажирский поезд идет со скоростью \( \frac{S}{12} \) км/ч. Значит, за 8 ч пассажирский поезд пройдет \( \frac{S}{12} \cdot 8 = \frac{2S}{3} \) км.

Товарный поезд за 8 ч пройдет (оставшийся путь):

\( S — \frac{2S}{3} = \frac{3S — 2S}{3} = \frac{S}{3} \) км.

Скорость товарного поезда равна:

\( \frac{S}{3} : 8 = \frac{S}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{S}{24} \) км/ч.

Следовательно, товарный поезд может преодолеть расстояние между двумя станциями за:

\( S : \frac{S}{24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24 \) (ч).

Ответ: за 24 ч.

Дано: пассажирский поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 ч. Если одновременно с этих станций выйдут навстречу друг другу пассажирский и товарный поезда, то они встретятся через 8 ч после начала движения. Найти: за какое время товарный поезд проходит всё расстояние между станциями.

1) Введём обозначение расстояния.

Пусть расстояние между станциями равно \( S \) км.

2) Найдём скорость пассажирского поезда.

По условию пассажирский поезд проходит \( S \) км за 12 ч, значит его скорость равна:

\( v_{\text{пасс}} = \frac{S}{12} \) км/ч.

3) Запишем, сколько проходит пассажирский поезд за 8 часов.

Если скорость равна \( \frac{S}{12} \) км/ч, то за 8 ч он пройдёт:

\( s_{\text{пасс за 8}} = v_{\text{пасс}} \cdot 8 = \frac{S}{12}\cdot 8 \).

Выполним умножение:

\( \frac{S}{12}\cdot 8 = \frac{8S}{12} \).

Сократим дробь \( \frac{8S}{12} \), разделив числитель и знаменатель на 4:

\( \frac{8S}{12} = \frac{2S}{3} \).

Значит пассажирский поезд за 8 ч пройдёт:

\( s_{\text{пасс за 8}} = \frac{2S}{3} \) км.

4) Используем факт встречи через 8 часов.

Поезда вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 8 ч. Это означает:

сумма расстояний, пройденных ими за 8 ч, равна всему расстоянию между станциями \( S \).

То есть:

\( s_{\text{пасс за 8}} + s_{\text{тов за 8}} = S \).

Подставим найденное \( s_{\text{пасс за 8}} = \frac{2S}{3} \):

\( \frac{2S}{3} + s_{\text{тов за 8}} = S \).

Отсюда найдём расстояние, пройденное товарным поездом за 8 ч:

\( s_{\text{тов за 8}} = S — \frac{2S}{3} \).

Приведём \( S \) к знаменателю 3:

\( S = \frac{3S}{3} \).

Тогда:

\( S — \frac{2S}{3} = \frac{3S}{3} — \frac{2S}{3} = \frac{3S — 2S}{3} = \frac{S}{3} \).

Значит товарный поезд за 8 ч проходит:

\( s_{\text{тов за 8}} = \frac{S}{3} \) км.

5) Найдём скорость товарного поезда.

Скорость равна расстояние делить на время. За 8 ч товарный поезд проходит \( \frac{S}{3} \) км, значит:

\( v_{\text{тов}} = \frac{\frac{S}{3}}{8} \).

Деление на 8 заменим умножением на \( \frac{1}{8} \):

\( \frac{\frac{S}{3}}{8} = \frac{S}{3}\cdot \frac{1}{8} \).

Перемножим дроби:

\( \frac{S}{3}\cdot \frac{1}{8} = \frac{S}{24} \).

Следовательно, скорость товарного поезда:

\( v_{\text{тов}} = \frac{S}{24} \) км/ч.

6) Найдём время, за которое товарный поезд проходит всё расстояние \( S \).

Время равно расстояние делить на скорость:

\( t_{\text{тов}} = \frac{S}{v_{\text{тов}}} \).

Подставим \( v_{\text{тов}} = \frac{S}{24} \):

\( t_{\text{тов}} = \frac{S}{\frac{S}{24}} \).

Деление на дробь заменим умножением на обратную дробь:

\( \frac{S}{\frac{S}{24}} = S \cdot \frac{24}{S} \).

Сократим \( S \) в числителе и знаменателе:

\( S \cdot \frac{24}{S} = 24 \).

Значит товарный поезд проходит расстояние между станциями за:

\( t_{\text{тов}} = 24 \) ч.

Ответ: \( 24 \) ч.