ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 5.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какие из данных равенств являются тождествами:

1) \( (2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2 \)

2) \( (a — b)^3 = (b — a)^3 \)

4) \( |a — b| = |b — a| \)

5) \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \)

6) \( |a + b| = |a| + |b| \)

7) \( |a — 1| = |a| — 1 \)

8) \( a^2 — b^2 = (a + b)^2 \)

1) \( (2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2 \) ⇒ является тождеством.

2) \( (a — b)^3 = (b — a)^3 \)

\( -(b — a)^3 = (b — a)^3 \) ⇒ не является тождеством.

3) \( |a + 5| = a + 5 \) ⇒ не является тождеством.

4) \( |a — b| = |b — a| \) ⇒ является тождеством.

5) \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \) ⇒ является тождеством.

6) \( |a + b| = |a| + |b| \) ⇒ не является тождеством.

7) \( |a — 1| = |a| — 1 \) ⇒ не является тождеством.

8) \( a^2 — b^2 = (a + b)^2 \) ⇒ не является тождеством.

1) \( (2a — 3b)^2 = (3b — 2a)^2 \)

Шаг 1. Раскроем обе стороны через формулу квадрата разности:

\( (2a — 3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2 \)

\( (3b — 2a)^2 = 9b^2 — 12ab + 4a^2 \)

Шаг 2. Сравниваем результаты:

\( 4a^2 — 12ab + 9b^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2 \)

Вывод: равенство верно для любых a и b ⇒ является тождеством.

2) \( (a — b)^3 = (b — a)^3 \)

Шаг 1. Используем формулу куба отрицательного числа:

\( b — a = -(a — b) \)

Следовательно:

\( (b — a)^3 = (-(a — b))^3 = -(a — b)^3 \)

Шаг 2. Сравниваем с левой частью:

\( (a — b)^3 = -(a — b)^3 \)

Это выполняется только при \(a — b = 0\), иначе нет.

Вывод: равенство не выполняется для всех a и b ⇒ не является тождеством.

3) \( |a + 5| = a + 5 \)

Шаг 1. Рассмотрим определение модуля:

\( |x| = x \) если \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \) если \( x < 0 \)

Здесь \( x = a + 5 \). Если \( a + 5 < 0 \), то \( |a + 5| = -(a + 5) \neq a + 5 \)

Вывод: равенство выполняется не для всех a ⇒ не является тождеством.

4) \( |a — b| = |b — a| \)

Шаг 1. Заметим, что \( b — a = -(a — b) \)

Шаг 2. По свойству модуля: \( |-x| = |x| \)

Следовательно: \( |b — a| = |-(a — b)| = |a — b| \)

Вывод: равенство верно для любых a и b ⇒ является тождеством.

5) \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \)

Шаг 1. Заметим, что \( a^2 \ge 0 \)

Шаг 2. Тогда \( a^2 + 4 > 0 \) для всех a

Шаг 3. Следовательно: \( |a^2 + 4| = a^2 + 4 \)

Вывод: равенство верно для любых a ⇒ является тождеством.

6) \( |a + b| = |a| + |b| \)

Шаг 1. Это неравенство треугольника:

Для любых a и b \( |a + b| \le |a| + |b| \), но равенство выполняется не всегда.

Например, если a = 1, b = -1, то \( |1 + (-1)| = 0 \), а \( |1| + |-1| = 2 \)

Вывод: равенство выполняется не для всех a и b ⇒ не является тождеством.

7) \( |a — 1| = |a| — 1 \)

Шаг 1. Рассмотрим a = 0:

\( |0 — 1| = 1 \), а \( |0| — 1 = -1 \)

Вывод: равенство не выполняется ⇒ не является тождеством.

8) \( a^2 — b^2 = (a + b)^2 \)

Шаг 1. Раскроем правую часть:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Шаг 2. Сравним с левой частью:

\( a^2 — b^2 \neq a^2 + 2ab + b^2 \) для всех a и b ≠ 0

Вывод: равенство не выполняется ⇒ не является тождеством.