ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Не выполняя вычислений, сравните:

1) \( (-5,8)^2\) и \(0 \);

2) \( 0 \) и \( (-3,7)^3 \);

3) \( (-12)^7 \) и \( (-6)^4 \);

4) \( -8^8 \) и \((-8)^8 \);

5) \( (-17)^6 \) и \( 17^6 \);

6) \( (-34)^5 \) и \( (-39)^5 \).

1) \( (-5,8)^2 > 0 \);

2) \( 0 > (-3,7)^3 \);

3) \( (-12)^7 < (-6)^4 \);

4) \( -8^8 < (-8)^8 \);

5) \( (-17)^6 = 17^6 \);

6) \( (-34)^5 > (-39)^5 \).

Общее правило 1 (чётная степень): если показатель степени чётный, то для любого \( a \ne 0 \) выполняется \( a^2 > 0 \), и вообще \( a^{2k} \ge 0 \). При этом, если \( a \ne 0 \), то \( a^{2k} > 0 \). Также \( (-a)^{2k} = a^{2k} \), то есть знак минус исчезает.

Общее правило 2 (нечётная степень): если показатель степени нечётный, то знак сохраняется: \( (-a)^{2k+1} = -a^{2k+1} \). Значит, если основание отрицательное, то вся степень с нечётным показателем отрицательна.

Общее правило 3 (скобки и знак минус):

\( (-8)^8 \) — это число \(-8\), возведённое в 8-ю степень.

\( -8^8 \) — это минус перед числом \( 8^8 \), то есть сначала считается \( 8^8 \), а затем ставится знак минус.

Общее правило 4 (сравнение отрицательных чисел): среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю. Например, \( -34 > -39 \), потому что \(-34\) ближе к нулю.

Теперь сравним по пунктам.

1) Сравнить \( (-5,8)^2 \) и \( 0 \).

Показатель степени 2 — чётный. Основание \((-5,8)\) не равно нулю. Следовательно, квадрат любого ненулевого числа положителен:

\( (-5,8)^2 > 0 \).

2) Сравнить \( 0 \) и \( (-3,7)^3 \).

Показатель степени 3 — нечётный, основание отрицательное \((-3,7) < 0\). Значит, степень будет отрицательной:

\( (-3,7)^3 < 0 \).

Тогда \( 0 \) больше отрицательного числа:

\( 0 > (-3,7)^3 \).

3) Сравнить \( (-12)^7 \) и \( (-6)^4 \).

Сначала определим знаки.

\( (-12)^7 \): показатель 7 нечётный, основание отрицательное ⇒ результат отрицательный, то есть \( (-12)^7 < 0 \).

\( (-6)^4 \): показатель 4 чётный, основание отрицательное ⇒ результат положительный, то есть \( (-6)^4 > 0 \).

Любое отрицательное число меньше любого положительного, значит:

\( (-12)^7 < (-6)^4 \).

4) Сравнить \( -8^8 \) и \( (-8)^8 \).

Рассмотрим каждое выражение.

\( (-8)^8 \): показатель 8 чётный ⇒ результат положительный, то есть \( (-8)^8 > 0 \).

\( -8^8 \): здесь минус стоит перед \( 8^8 \), а \( 8^8 > 0 \), значит \( -8^8 < 0 \).

Любое отрицательное число меньше любого положительного, значит:

\( -8^8 < (-8)^8 \).

5) Сравнить \( (-17)^6 \) и \( 17^6 \).

Показатель 6 чётный, поэтому знак минус при основании исчезает:

\( (-17)^6 = 17^6 \).

6) Сравнить \( (-34)^5 \) и \( (-39)^5 \).

Показатель 5 нечётный, значит знак у результата будет таким же, как у основания. Оба основания отрицательные, значит обе степени отрицательные.

При нечётной степени функция \( a^5 \) возрастает: если \( a_1 > a_2 \), то \( a_1^5 > a_2^5 \).

Сравним основания: \( -34 > -39 \), потому что \(-34\) ближе к нулю.

Следовательно:

\( (-34)^5 > (-39)^5 \).

Ответ:

1) \( (-5,8)^2 > 0 \);

2) \( 0 > (-3,7)^3 \);

3) \( (-12)^7 < (-6)^4 \);

4) \( -8^8 < (-8)^8 \);

5) \( (-17)^6 = 17^6 \);

6) \( (-34)^5 > (-39)^5 \).