ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Не выполняя вычислений, сравните:

1) \( 0\) и \((-1,9)^{10} \);

2) \( 0 \) и \( (-76)^{15} \);

3) \( (-0,1)^{12} \) и \( (-12)^{25} \);

4) \( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 \) и \( \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).

1) \( 0 < (-1,9)^{10} \);

2) \( 0 > (-76)^{15} \);

3) \( (-0,1)^{12} > (-12)^{25} \);

4) \( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 > \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).

Основные правила, которые будем использовать.

1) Если показатель степени чётный, то результат неотрицателен, а при ненулевом основании положителен:

\( a^{2k} \ge 0 \), и если \( a \ne 0 \), то \( a^{2k} > 0 \).

2) Если показатель степени нечётный, то знак степени совпадает со знаком основания:

\( (-a)^{2k+1} = -a^{2k+1} \).

3) Если сравниваются степени с одинаковым нечётным показателем, то функция \( t \mapsto t^{2k+1} \) возрастает: если \( t_1 > t_2 \), то \( t_1^{2k+1} > t_2^{2k+1} \). Это позволяет сравнивать такие степени, сравнивая основания.

4) Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Теперь решим по пунктам.

1) Сравнить \( 0 \) и \( (-1,9)^{10} \).

Основание \( (-1,9) \) — отрицательное, но показатель степени \( 10 \) чётный.

При чётной степени знак минус исчезает, и результат получается положительным (так как основание не равно нулю):

\( (-1,9)^{10} > 0 \).

Следовательно:

\( 0 < (-1,9)^{10} \).

2) Сравнить \( 0 \) и \( (-76)^{15} \).

Основание \( (-76) \) отрицательное, показатель степени \( 15 \) нечётный.

При нечётной степени знак сохраняется, значит результат отрицательный:

\( (-76)^{15} < 0 \).

Следовательно:

\( 0 > (-76)^{15} \).

3) Сравнить \( (-0,1)^{12} \) и \( (-12)^{25} \).

Сначала определим знак каждого выражения.

\( (-0,1)^{12} \): основание отрицательное, показатель \( 12 \) чётный, значит степень положительна:

\( (-0,1)^{12} > 0 \).

\( (-12)^{25} \): основание отрицательное, показатель \( 25 \) нечётный, значит степень отрицательна:

\( (-12)^{25} < 0 \).

Любое положительное число больше любого отрицательного, значит:

\( (-0,1)^{12} > (-12)^{25} \).

4) Сравнить \( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 \) и \( \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).

Здесь показатели степени одинаковые и нечётные: \( 9 \).

Для нечётной степени функция \( t \mapsto t^9 \) возрастает, поэтому достаточно сравнить основания:

если \( -4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11} \), то и \( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 > \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).

Сравним основания.

Оба числа отрицательные. Среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.

\( -4\frac{7}{9} \) по модулю меньше, чем \( -5\frac{8}{11} \), потому что \( 4\frac{7}{9} \) меньше, чем \( 5\frac{8}{11} \) (у второго целая часть 5, а у первого 4).

Значит число \( -4\frac{7}{9} \) ближе к нулю, следовательно:

\( -4\frac{7}{9} > -5\frac{8}{11} \).

Так как степень 9 нечётная и функция возрастает, получаем:

\( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 > \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).

Ответ:

1) \( 0 < (-1,9)^{10} \);

2) \( 0 > (-76)^{15} \);

3) \( (-0,1)^{12} > (-12)^{25} \);

4) \( \left(-4\frac{7}{9}\right)^9 > \left(-5\frac{8}{11}\right)^9 \).