ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните с нулем значения выражений \( 2^{100} \); \( (-2)^{100}  \); \( -2^{100}  \); \( -(-2)^{100}\). Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

\( 2^{100} > 0 \); \( \quad (-2)^{100} > 0 \); \( \quad -2^{100} < 0 \); \( \quad -(-2)^{100} < 0 \).

Равные значения:

\( 2^{100} = (-2)^{100} \); \( \quad -2^{100} = -(-2)^{100} \).

Задано 4 выражения: \( 2^{100} \), \( (-2)^{100} \), \( -2^{100} \), \( -(-2)^{100} \).

Требуется: сравнить каждое выражение с нулём и выяснить, есть ли среди них выражения с равными значениями.

1) Сравним с нулём \( 2^{100} \).

Основание степени равно \( 2 \). Это положительное число: \( 2 > 0 \).

Показатель степени \( 100 \) — натуральное число, значит \( 2^{100} \) — это произведение ста двоек:

\( 2^{100} = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{100 \text{ множителей}} \).

Произведение положительных чисел всегда положительно, значит:

\( 2^{100} > 0 \).

2) Сравним с нулём \( (-2)^{100} \).

Основание степени отрицательное: \( -2 < 0 \).

Но показатель степени \( 100 \) чётный.

При чётной степени знак минус исчезает, потому что отрицательное число умножается на себя чётное количество раз, и отрицательные знаки образуют пары:

\( (-2)^{100} = \underbrace{(-2)\cdot(-2)\cdot\ldots\cdot(-2)}_{100 \text{ множителей}} \).

Можно сгруппировать по два множителя:

\( (-2)^{100} = \underbrace{\left((-2)\cdot(-2)\right)\cdot\left((-2)\cdot(-2)\right)\cdot\ldots\cdot\left((-2)\cdot(-2)\right)}_{50 \text{ пар}} \).

Каждая пара равна \( (-2)\cdot(-2)=4 \), а \( 4 > 0 \). Произведение положительных чисел положительно, значит:

\( (-2)^{100} > 0 \).

3) Сравним с нулём \( -2^{100} \).

Важно различать записи \( (-2)^{100} \) и \( -2^{100} \).

В выражении \( -2^{100} \) минус стоит перед степенью, то есть сначала вычисляется \( 2^{100} \), а затем к результату применяется знак минус:

\( -2^{100} = -(2^{100}) \).

Из пункта 1 уже известно, что \( 2^{100} > 0 \).

Если взять отрицательное от положительного числа, получится отрицательное число:

\( -(2^{100}) < 0 \).

Значит:

\( -2^{100} < 0 \).

4) Сравним с нулём \( -(-2)^{100} \).

Здесь сначала стоит степень \( (-2)^{100} \), а затем перед ней стоит минус, то есть это отрицание значения \( (-2)^{100} \):

\( -(-2)^{100} = -\left((-2)^{100}\right) \).

Из пункта 2 уже известно, что \( (-2)^{100} > 0 \).

Отрицание положительного числа даёт отрицательное число, значит:

\( -\left((-2)^{100}\right) < 0 \).

Следовательно:

\( -(-2)^{100} < 0 \).

Итак, сравнение с нулём:

\( 2^{100} > 0 \).

\( (-2)^{100} > 0 \).

\( -2^{100} < 0 \).

\( -(-2)^{100} < 0 \).

5) Выясним, есть ли равные значения среди этих выражений.

5.1) Сравним \( 2^{100} \) и \( (-2)^{100} \).

Так как показатель степени \( 100 \) чётный, то \( (-2)^{100} = 2^{100} \) (знак минус исчезает):

\( 2^{100} = (-2)^{100} \).

5.2) Сравним \( -2^{100} \) и \( -(-2)^{100} \).

Перепишем \( -2^{100} \) как \( -(2^{100}) \):

\( -2^{100} = -(2^{100}) \).

А \( -(-2)^{100} \) — это \( -\left((-2)^{100}\right) \).

Но мы уже установили, что \( (-2)^{100} = 2^{100} \). Тогда:

\( -\left((-2)^{100}\right) = -(2^{100}) \).

Значит:

\( -2^{100} = -(-2)^{100} \).

Ответ:

\( 2^{100} > 0 \), \( (-2)^{100} > 0 \), \( -2^{100} < 0 \), \( -(-2)^{100} < 0 \).

Равные значения: \( 2^{100} = (-2)^{100} \) и \( -2^{100} = -(-2)^{100} \).