ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните с нулем значения выражений \( 5^{101} \), \( -5^{101} \), \( (-5)^{101} \), \( -(-5)^{101} \). Есть ли среди них выражения, принимающие равные значения?

\( 5^{101} > 0 \); \( \quad -5^{101} < 0 \); \( \quad (-5)^{101} < 0 \); \( \quad -(-5)^{101} > 0 \).

Равные значения:

\( 5^{101} = -(-5)^{101} \); \( \quad -5^{101} = (-5)^{101} \).

Даны выражения: \( 5^{101} \), \( -5^{101} \), \( (-5)^{101} \), \( -(-5)^{101} \).

Требуется: сравнить каждое выражение с нулём и определить, есть ли среди них равные значения.

1) Сравним с нулём \( 5^{101} \).

Основание степени равно \( 5 \), это положительное число: \( 5 > 0 \).

Степень \( 5^{101} \) — это произведение 101 множителя, каждый из которых равен 5:

\( 5^{101} = \underbrace{5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5}_{101 \text{ множитель}} \).

Произведение положительных чисел всегда положительно, значит:

\( 5^{101} > 0 \).

2) Сравним с нулём \( -5^{101} \).

Важно понимать запись: \( -5^{101} \) означает, что знак минус стоит перед степенью \( 5^{101} \):

\( -5^{101} = -(5^{101}) \).

Мы уже установили, что \( 5^{101} > 0 \).

Отрицание положительного числа даёт отрицательное число, значит:

\( -(5^{101}) < 0 \).

Следовательно:

\( -5^{101} < 0 \).

3) Сравним с нулём \( (-5)^{101} \).

Основание степени здесь отрицательное число \((-5)\): \( -5 < 0 \).

Показатель степени \( 101 \) — нечётный.

При нечётной степени знак сохраняется: произведение нечётного количества отрицательных множителей отрицательно:

\( (-5)^{101} = \underbrace{(-5)\cdot(-5)\cdot\ldots\cdot(-5)}_{101 \text{ множитель}} \).

Так как множителей 101 (нечётное число), общий знак будет минус, значит:

\( (-5)^{101} < 0 \).

4) Сравним с нулём \( -(-5)^{101} \).

Это отрицание значения \( (-5)^{101} \):

\( -(-5)^{101} = -\left((-5)^{101}\right) \).

Из пункта 3 известно, что \( (-5)^{101} < 0 \).

Если взять минус от отрицательного числа, получится положительное число:

\( -\left((-5)^{101}\right) > 0 \).

Следовательно:

\( -(-5)^{101} > 0 \).

Итак, сравнение с нулём:

\( 5^{101} > 0 \).

\( -5^{101} < 0 \).

\( (-5)^{101} < 0 \).

\( -(-5)^{101} > 0 \).

5) Определим, есть ли равные значения среди данных выражений.

5.1) Сравним \( -5^{101} \) и \( (-5)^{101} \).

\( -5^{101} = -(5^{101}) \).

А \( (-5)^{101} \) при нечётном показателе равна:

\( (-5)^{101} = -(5^{101}) \).

Значит:

\( -5^{101} = (-5)^{101} \).

5.2) Сравним \( 5^{101} \) и \( -(-5)^{101} \).

Так как \( (-5)^{101} = -(5^{101}) \), то:

\( -(-5)^{101} = -\left(-(5^{101})\right) \).

Минус на минус даёт плюс, значит:

\( -\left(-(5^{101})\right) = 5^{101} \).

Следовательно:

\( 5^{101} = -(-5)^{101} \).

Ответ:

\( 5^{101} > 0 \), \( -5^{101} < 0 \), \( (-5)^{101} < 0 \), \( -(-5)^{101} > 0 \).

Равные значения: \( -5^{101} = (-5)^{101} \) и \( 5^{101} = -(-5)^{101} \).