ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

1) \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\);

2) \( (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \);

3) \( a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \);

4) \( 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \);

5) \( x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x^2  \);

6) \( \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}} \);

7) \( \underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}}  \);

8) \( \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}}  \).

1) \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \);

2) \( (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = (-7)^3 \);

3) \( a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5 \);

4) \( 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m = (2m)^5 \);

5) \( x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = (x^2)^4 \);

6) \( \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}} = y^{10} \);

7) \( \underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}} = 0,4^k \);

8) \( \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}} = c^m \).

Пояснение: если некоторое число или выражение \( a \) повторяется множителем \( n \) раз, то произведение можно записать как степень:

\( \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} = a^n \).

Здесь:

\( a \) — основание степени (что именно повторяется множителем);

\( n \) — показатель степени (сколько одинаковых множителей).

Рассмотрим каждый пункт.

1) \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \)

Здесь одинаковый множитель равен \( 5 \).

Посчитаем, сколько раз он повторяется: \( 5 \) встречается 4 раза.

Значит основание степени \( 5 \), показатель степени \( 4 \).

Получаем:

\( 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \).

2) \( (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \)

Одинаковый множитель равен \( (-7) \).

Он повторяется 3 раза.

Значит основание степени \( (-7) \), показатель степени \( 3 \).

Получаем:

\( (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) = (-7)^3 \).

3) \( a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \)

Одинаковый множитель равен \( a \).

Он повторяется 5 раз.

Значит основание степени \( a \), показатель степени \( 5 \).

Получаем:

\( a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^5 \).

4) \( 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \)

Одинаковый множитель равен \( 2m \).

Он повторяется 5 раз.

Так как основание состоит из двух символов (число и переменная), его удобно выделить как одно целое, поэтому записываем в скобках: \( (2m) \).

Показатель степени равен 5.

Получаем:

\( 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m \cdot 2m = (2m)^5 \).

5) \( x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \)

Одинаковый множитель здесь не просто \( x \), а целое выражение \( x^2 \).

То есть повторяется множитель \( x^2 \).

Посчитаем, сколько раз он повторяется: \( x^2 \) встречается 4 раза.

Чтобы показать, что основание именно \( x^2 \), берём его в скобки: \( (x^2) \).

Показатель степени равен 4.

Получаем:

\( x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = (x^2)^4 \).

6) \( \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}} \)

По записи под скобкой (подчёркиванием-скобкой) прямо указано, что множителей 10.

Одинаковый множитель равен \( y \), он повторяется 10 раз.

Значит основание степени \( y \), показатель степени \( 10 \).

Получаем:

\( \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{10 \text{ множителей}} = y^{10} \).

7) \( \underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}} \)

Одинаковый множитель равен \( 0,4 \).

Количество множителей равно \( k \) (это указано под записью).

Значит основание степени \( 0,4 \), показатель степени \( k \).

Получаем:

\( \underbrace{0,4 \cdot 0,4 \cdot \ldots \cdot 0,4}_{k \text{ множителей}} = 0,4^k \).

8) \( \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}} \)

Одинаковый множитель равен \( c \).

Количество множителей равно \( m \).

Значит основание степени \( c \), показатель степени \( m \).

Получаем:

\( \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{m \text{ множителей}} = c^m \).