ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания значения выражений:

1) \( 0,3 \); \( \ 0,3^2  \); \( \ 0,3^3 \);

2) \( -0,4 \); \( \ (-0,4)^2 \); \( \ (-0,4)^3 \).

1) \( 0,3 \); \( \ 0,3^2 = 0,09 \); \( \ 0,3^3 = 0,027 \).

В порядке возрастания:

\( 0,3^3 < 0,3^2 < 0,3 \).

2) \( -0,4 \); \( \ (-0,4)^2 = 0,16 \); \( \ (-0,4)^3 = -0,064 \).

В порядке возрастания:

\( -0,4 < (-0,4)^3 < (-0,4)^2 \).

Будем сравнивать числа, используя свойства степеней и знаков, а также (где удобно) вычисляя степени как произведения одинаковых множителей.

1) Расположить в порядке возрастания: \( 0,3 \), \( 0,3^2 \), \( 0,3^3 \).

Шаг 1. Заметим, что \( 0,3 \) — положительное число, причём оно меньше 1:

\( 0,3 > 0 \) и \( 0,3 < 1 \).

Для положительного числа \( a \), которое меньше 1, при возведении в степень значение уменьшается:

если \( 0 < a < 1 \), то \( a^3 < a^2 < a \).

Шаг 2. Чтобы убедиться на числах, найдём значения степеней.

\( 0,3^2 = 0,3 \cdot 0,3 \).

Умножим: \( 3 \cdot 3 = 9 \), а всего два знака после запятой, значит:

\( 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \).

Значит \( 0,3^2 = 0,09 \).

\( 0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \).

Мы уже нашли \( 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \), тогда:

\( 0,3^3 = 0,09 \cdot 0,3 \).

Умножим: \( 9 \cdot 3 = 27 \), а всего три знака после запятой (2 в 0,09 и 1 в 0,3), значит:

\( 0,09 \cdot 0,3 = 0,027 \).

Значит \( 0,3^3 = 0,027 \).

Шаг 3. Теперь сравним полученные числа:

\( 0,027 < 0,09 < 0,3 \).

Следовательно, в порядке возрастания:

\( 0,3^3 < 0,3^2 < 0,3 \).

2) Расположить в порядке возрастания: \( -0,4 \), \( (-0,4)^2 \), \( (-0,4)^3 \).

Шаг 1. Определим знак каждого выражения.

\( -0,4 \) — отрицательное число.

\( (-0,4)^2 \): показатель степени 2 чётный, значит результат будет положительным:

\( (-0,4)^2 > 0 \).

\( (-0,4)^3 \): показатель степени 3 нечётный, значит знак сохраняется, а основание отрицательное, следовательно результат отрицательный:

\( (-0,4)^3 < 0 \).

Шаг 2. Найдём значения степеней, чтобы правильно сравнить два отрицательных числа \( -0,4 \) и \( (-0,4)^3 \).

\( (-0,4)^2 = (-0,4)\cdot(-0,4) \).

Произведение двух отрицательных чисел положительно, а \( 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \), значит:

\( (-0,4)^2 = 0,16 \).

\( (-0,4)^3 = (-0,4)\cdot(-0,4)\cdot(-0,4) \).

Первые два множителя дают \( (-0,4)\cdot(-0,4)=0,16 \), тогда:

\( (-0,4)^3 = 0,16 \cdot (-0,4) \).

\( 0,16 \cdot 0,4 = 0,064 \), и знак минус сохраняется, значит:

\( 0,16 \cdot (-0,4) = -0,064 \).

Следовательно \( (-0,4)^3 = -0,064 \).

Шаг 3. Сравним числа \( -0,4 \), \( -0,064 \), \( 0,16 \).

Любое отрицательное число меньше любого положительного, значит оба отрицательных числа меньше \( 0,16 \).

Осталось сравнить \( -0,4 \) и \( -0,064 \).

Среди отрицательных чисел меньше то, которое дальше от нуля. Число \( -0,4 \) дальше от нуля, чем \( -0,064 \), значит:

\( -0,4 < -0,064 \).

Тогда получаем порядок возрастания:

\( -0,4 < (-0,4)^3 < (-0,4)^2 \).

Ответ:

1) \( 0,3^3 < 0,3^2 < 0,3 \).

2) \( -0,4 < (-0,4)^3 < (-0,4)^2 \).