ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте число: 1) 10000; 2) -32; 3) 0,125; 4) -0,00001; 5) \( -\frac{8}{343} \) в виде степени с показателем, большим 1, и наименьшим по модулю основанием.

1) \( 10\,000 = 10^4 \);

2) \( -32 = (-2)^5 \);

3) \( 0,125 = (0,5)^3 \);

4) \( -0,00001 = (-0,1)^5 \);

5) \( -\frac{8}{343} = \left(-\frac{2}{7}\right)^3 \).

Задание: представить каждое число в виде степени \( a^n \), где показатель \( n \) больше 1, а основание \( a \) имеет наименьший возможный модуль.

Это означает:

1) показатель степени должен быть \( n \ge 2 \);

2) среди всех возможных записей вида \( a^n \) выбираем такую, где \( |a| \) минимально.

1) Число \( 10\,000 \).

Шаг 1. Заметим, что \( 10\,000 \) удобно получать умножением на 10 несколько раз:

\( 10 \cdot 10 = 100 \).

\( 100 \cdot 10 = 1000 \).

\( 1000 \cdot 10 = 10\,000 \).

Это означает, что \( 10\,000 \) — произведение четырёх десяток:

\( 10\,000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 \).

Шаг 2. Проверим условие про «наименьшее по модулю основание».

Число \( 10\,000 \) можно записать, например, как \( 100^2 \), но тогда \( |100| > |10| \).

Значит, среди таких натуральных оснований минимальный модуль даёт основание 10.

Ответ: \( 10\,000 = 10^4 \).

2) Число \( -32 \).

Шаг 1. Разложим 32 как степень двойки:

\( 2^2 = 4 \).

\( 2^3 = 8 \).

\( 2^4 = 16 \).

\( 2^5 = 32 \).

Значит \( 32 = 2^5 \).

Шаг 2. Чтобы получить отрицательное число \( -32 \) в виде степени, нужно взять отрицательное основание и нечётный показатель степени (тогда знак сохранится):

\( (-2)^5 = -(2^5) = -32 \).

Шаг 3. Проверим минимальность \( |a| \).

Если попытаться взять основание по модулю меньше 2, например \( |a| = 1 \), то \( 1^n = 1 \) или \( (-1)^n = \pm 1 \), а \( -32 \) так получить нельзя.

Значит меньше 2 по модулю основание невозможно, поэтому \( |a| = 2 \) минимально.

Ответ: \( -32 = (-2)^5 \).

3) Число \( 0,125 \).

Шаг 1. Запишем десятичную дробь в виде обыкновенной:

\( 0,125 = \frac{125}{1000} \).

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 125:

\( \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \).

Значит:

\( 0,125 = \frac{1}{8} \).

Шаг 2. Представим \( \frac{1}{8} \) как степень с показателем больше 1.

\( 8 = 2^3 \), значит:

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \).

Шаг 3. Проверим минимальность \( \left|\frac{1}{2}\right| \).

Если взять основание по модулю меньше \( \frac{1}{2} \), например \( \frac{1}{4} \), то степени будут слишком малы: \( \left(\frac{1}{4}\right)^n \le \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \), а нужно \( \frac{1}{8} \), то есть больше, чем \( \frac{1}{16} \).

Основание \( \frac{1}{2} \) даёт точное значение при \( n = 3 \), и по модулю оно меньше, чем \( 0,5 \) не требуется (и меньшее основание уже не даст \( \frac{1}{8} \) при натуральном \( n > 1 \)).

Ответ: \( 0,125 = (0,5)^3 \).

4) Число \( -0,00001 \).

Шаг 1. Заметим, что \( 0,1 = \frac{1}{10} \).

Тогда:

\( 0,1^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100} = 0,01 \).

\( 0,1^3 = \left(\frac{1}{10}\right)^3 = \frac{1}{1000} = 0,001 \).

\( 0,1^4 = \left(\frac{1}{10}\right)^4 = \frac{1}{10000} = 0,0001 \).

\( 0,1^5 = \left(\frac{1}{10}\right)^5 = \frac{1}{100000} = 0,00001 \).

Значит:

\( 0,00001 = 0,1^5 \).

Шаг 2. Нам нужно отрицательное число \( -0,00001 \).

Возьмём отрицательное основание и нечётный показатель степени 5:

\( (-0,1)^5 = -0,00001 \).

Шаг 3. Проверим минимальность \( |a| \).

Основание \( 0,1 \) имеет модуль \( 0,1 \). Если взять основание по модулю меньше \( 0,1 \), например \( 0,01 \), то степени будут уже вида \( 0,01^n \), а \( 0,01^2 = 0,0001 \), то есть это больше похоже на \( 10^{-4} \), и нужное \( 10^{-5} \) получить как степень \( 0,01 \) уже нельзя с целым \( n > 1 \) (потому что \( 0,01^n = 10^{-2n} \), а показатель \(-5\) не кратен 2).

Значит основание с меньшим модулем, чем \( 0,1 \), не даст ровно \( 0,00001 \) при целочисленном \( n > 1 \).

Ответ: \( -0,00001 = (-0,1)^5 \).

5) Число \( -\frac{8}{343} \).

Шаг 1. Представим числитель и знаменатель как степени.

\( 8 = 2^3 \).

\( 343 = 7^3 \), потому что \( 7 \cdot 7 = 49 \) и \( 49 \cdot 7 = 343 \).

Значит:

\( \frac{8}{343} = \frac{2^3}{7^3} \).

По свойству степеней:

\( \frac{2^3}{7^3} = \left(\frac{2}{7}\right)^3 \).

Шаг 2. Нужно отрицательное число, значит берём отрицательное основание и нечётную степень 3:

\( -\frac{8}{343} = \left(-\frac{2}{7}\right)^3 \).

Шаг 3. Проверим минимальность \( \left|-\frac{2}{7}\right| = \frac{2}{7} \).

Так как числитель и знаменатель — кубы целых чисел, естественная запись с наименьшим модулем основания получается именно как куб дроби \( \frac{2}{7} \).

Если попытаться сделать основание по модулю меньше, например \( \frac{1}{7} \) или \( \frac{2}{49} \), то при возведении в степень 3 получится совсем другой числитель или знаменатель, то есть точно \( \frac{8}{343} \) не получится.

Ответ: \( -\frac{8}{343} = \left(-\frac{2}{7}\right)^3 \).

Итоговый ответ:

1) \( 10\,000 = 10^4 \);

2) \( -32 = (-2)^5 \);

3) \( 0,125 = (0,5)^3 \);

4) \( -0,00001 = (-0,1)^5 \);

5) \( -\frac{8}{343} = \left(-\frac{2}{7}\right)^3 \).