ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Какие из чисел -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 являются корнями уравнения:

1) \( x^4 = 16 \)

2) \( x^5 = -243 \)

3) \( x^2 + x = 2 \)

4) \( x^3 + x^2 = 6x \)

1) \( x^4 = 16 \)

\( x = -2 \) или \( x = 2 \).

2) \( x^5 = -243 \)

\( x = -3 \).

3) \( x^2 + x = 2 \)

\( x = -2 \) или \( x = 1 \).

4) \( x^3 + x^2 = 6x \)

\( x = -3 \); \( x = 0 \); \( x = 2 \).

Какие из чисел \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) являются корнями уравнения:

1) \( x^4 = 16 \).

Нужно проверить, при каких значениях \(x\) из списка \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) выполняется равенство \( x^4 = 16 \).

Заметим, что \(16\) можно записать как \(2^4\), потому что:

\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \).

Если \(x^4 = 16\), то \(x\) должен быть таким, чтобы при возведении в четвёртую степень получилось \(16\).

Проверим числа из списка.

\( (-3)^4 = 3^4 = 81 \), не подходит, потому что \(81 \ne 16\).

\( (-2)^4 = 2^4 = 16 \), подходит, потому что \(16 = 16\).

\( (-1)^4 = 1 \), не подходит, потому что \(1 \ne 16\).

\( 0^4 = 0 \), не подходит, потому что \(0 \ne 16\).

\( 1^4 = 1 \), не подходит, потому что \(1 \ne 16\).

\( 2^4 = 16 \), подходит, потому что \(16 = 16\).

\( 3^4 = 81 \), не подходит, потому что \(81 \ne 16\).

Значит, корни из данного набора: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

2) \( x^5 = -243 \).

Нужно найти, какие числа из списка \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) при возведении в пятую степень дают \(-243\).

Заметим, что \(243\) связано с числом \(3\):

\( 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \).

Тогда:

\( (-3)^5 = -(3^5) = -243 \).

Проверим числа из списка.

\( (-3)^5 = -243 \), подходит.

\( (-2)^5 = -32 \), не подходит, потому что \(-32 \ne -243\).

\( (-1)^5 = -1 \), не подходит, потому что \(-1 \ne -243\).

\( 0^5 = 0 \), не подходит, потому что \(0 \ne -243\).

\( 1^5 = 1 \), не подходит, потому что \(1 \ne -243\).

\( 2^5 = 32 \), не подходит, потому что \(32 \ne -243\).

\( 3^5 = 243 \), не подходит, потому что \(243 \ne -243\).

Значит, корень из данного набора: \( x = -3 \).

3) \( x^2 + x = 2 \).

Нужно определить, какие числа из списка удовлетворяют равенству \( x^2 + x = 2 \).

Перенесём \(2\) в левую часть, чтобы получить уравнение вида \(=0\):

\( x^2 + x — 2 = 0 \).

Разложим выражение \(x^2 + x — 2\) на множители.

Нужно найти два числа, произведение которых равно \(-2\), а сумма равна \(1\).

Такими числами являются \(2\) и \(-1\), потому что:

\( 2 \cdot (-1) = -2 \),

\( 2 + (-1) = 1 \).

Значит:

\( x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1) \).

Тогда уравнение:

\( (x + 2)(x — 1) = 0 \).

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\( x + 2 = 0 \) или \( x — 1 = 0 \).

Решаем каждое уравнение.

\( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).

\( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Оба числа \( -2 \) и \( 1 \) входят в данный набор, значит они и являются корнями из списка.

4) \( x^3 + x^2 = 6x \).

Нужно найти, какие числа из набора \( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) являются корнями этого уравнения.

Перенесём всё в левую часть:

\( x^3 + x^2 — 6x = 0 \).

Вынесем \(x\) за скобки, потому что во всех слагаемых есть \(x\):

\( x^3 + x^2 — 6x = x(x^2 + x — 6) \).

Получаем:

\( x(x^2 + x — 6) = 0 \).

Теперь разложим квадратный трёхчлен \(x^2 + x — 6\) на множители.

Нужно найти два числа, произведение которых равно \(-6\), а сумма равна \(1\).

Подходят числа \(3\) и \(-2\), потому что:

\( 3 \cdot (-2) = -6 \),

\( 3 + (-2) = 1 \).

Значит:

\( x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2) \).

Тогда уравнение принимает вид:

\( x(x + 3)(x — 2) = 0 \).

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\( x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) или \( x — 2 = 0 \).

Решаем:

\( x = 0 \).

\( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \).

\( x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Все три числа \( -3, 0, 2 \) входят в данный набор, значит они являются корнями из списка.

Ответ:

1) \( -2 \), \( 2 \).

2) \( -3 \).

3) \( -2 \), \( 1 \).

4) \( -3 \), \( 0 \), \( 2 \).