ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях n верно неравенство \( 8 < 3^n < 85 \)?

\( 8 < 3^n < 85 \);

при \( n = 2 \), \( \quad 3^n = 3^2 = 9 \);

при \( n = 3 \), \( \quad 3^n = 3^3 = 27 \);

при \( n = 4 \), \( \quad 3^n = 3^4 = 81 \).

Ответ: при \( n = 2 \); \( 3 \); \( 4 \).

При каких натуральных значениях \(n\) верно неравенство \( 8 < 3^n < 85 \)?

Нужно найти все натуральные \(n\), при которых число \(3^n\) больше \(8\), но меньше \(85\).

Так как \(n\) — натуральное число, то \(n = 1, 2, 3, 4, 5, \ldots\)

Степени числа \(3\) при натуральных \(n\) возрастают, потому что каждое следующее значение получается умножением на \(3\):

\( 3^{n+1} = 3^n \cdot 3 \).

Поэтому удобно последовательно вычислять значения \(3^n\) и смотреть, когда они попадают в промежуток \((8; 85)\).

Шаг 1. Проверим \(n = 1\).

\( 3^1 = 3 \).

Сравним с \(8\): \( 3 \not> 8 \), значит \(n = 1\) не подходит.

Шаг 2. Проверим \(n = 2\).

\( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \).

Проверим неравенство \( 8 < 3^n < 85 \):

\( 8 < 9 \) — верно,

\( 9 < 85 \) — верно.

Значит, \(n = 2\) подходит.

Шаг 3. Проверим \(n = 3\).

\( 3^3 = 3^2 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27 \).

Проверим:

\( 8 < 27 \) — верно,

\( 27 < 85 \) — верно.

Значит, \(n = 3\) подходит.

Шаг 4. Проверим \(n = 4\).

\( 3^4 = 3^3 \cdot 3 = 27 \cdot 3 = 81 \).

Проверим:

\( 8 < 81 \) — верно,

\( 81 < 85 \) — верно.

Значит, \(n = 4\) подходит.

Шаг 5. Проверим следующее натуральное значение \(n = 5\), чтобы понять, не закончились ли решения.

\( 3^5 = 3^4 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243 \).

Проверим вторую часть неравенства:

\( 243 < 85 \) — неверно.

Значит, \(n = 5\) не подходит.

Так как при увеличении \(n\) значения \(3^n\) только растут, то при всех \(n \ge 5\) будет \(3^n \ge 3^5 = 243\), а значит тем более \(3^n\) не может быть меньше \(85\).

Следовательно, других натуральных решений, кроме найденных, нет.

Ответ: \( n = 2 \), \( 3 \), \( 4 \).