ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких натуральных значениях m верно неравенство \( 0,07 < 0,4^m < 0,5 \)?

\( 0,07 < 0,4^m < 0,5 \);

при \( m = 1 \), \( \quad 0,4^m = 0,4^1 = 0,4 \);

при \( m = 2 \), \( \quad 0,4^m = 0,4^2 = 0,16 \);

при \( m = 3 \), \( \quad 0,4^m = 0,4^3 = 0,064 \) → не подходит.

Ответ: при \( m = 1 \); \( 2 \).

При каких натуральных значениях \(m\) верно неравенство \( 0,07 < 0,4^m < 0,5 \)?

Нужно найти все натуральные \(m\), при которых значение \(0,4^m\) больше \(0,07\), но меньше \(0,5\).

Так как \(m\) — натуральное число, то \(m = 1, 2, 3, 4, \ldots\)

Заметим важное свойство числа \(0,4\).

\(0,4\) — число меньше \(1\), поэтому при увеличении натурального показателя степени \(m\) значения \(0,4^m\) убывают:

\( 0,4^{m+1} = 0,4^m \cdot 0,4 \), а умножение на \(0,4\) уменьшает число.

Значит, удобно последовательно вычислять \(0,4^m\), пока значения остаются больше \(0,07\), и проверять одновременно условие \(0,4^m < 0,5\).

Шаг 1. Проверим \(m = 1\).

\( 0,4^1 = 0,4 \).

Проверим неравенство \( 0,07 < 0,4^m < 0,5 \):

\( 0,07 < 0,4 \) — верно,

\( 0,4 < 0,5 \) — верно.

Значит, \(m = 1\) подходит.

Шаг 2. Проверим \(m = 2\).

\( 0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 \).

Умножим:

\( 4 \cdot 4 = 16 \), и так как в каждом множителе по одной цифре после запятой, всего две цифры после запятой в результате, получаем:

\( 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \).

Значит, \( 0,4^2 = 0,16 \).

Проверим неравенство:

\( 0,07 < 0,16 \) — верно,

\( 0,16 < 0,5 \) — верно.

Значит, \(m = 2\) подходит.

Шаг 3. Проверим \(m = 3\).

\( 0,4^3 = 0,4^2 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,4 \).

Умножим:

\( 16 \cdot 4 = 64 \), и так как всего \(2 + 1 = 3\) цифры после запятой, получаем:

\( 0,16 \cdot 0,4 = 0,064 \).

Значит, \( 0,4^3 = 0,064 \).

Проверим первую часть неравенства:

\( 0,07 < 0,064 \) — неверно, потому что \(0,064 < 0,07\).

Значит, \(m = 3\) не подходит.

Так как при увеличении \(m\) значения \(0,4^m\) только уменьшаются, то при всех \(m \ge 3\) будет:

\( 0,4^m \le 0,4^3 = 0,064 \),

а это меньше \(0,07\), значит неравенство \( 0,07 < 0,4^m \) уже не выполнится.

Следовательно, решений среди натуральных \(m\) больше не будет.

Ответ: \( m = 1 \); \( 2 \).