Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что выражение x² + (x — 1)² принимает только положительные значения.
\( x^2 + (x — 1)^2 \) → так как \( x^2 \ge 0 \) и \( (x — 1)^2 \ge 0 \) при любых \( x \), то значение данного выражения принимает только положительные значения.
Докажем, что выражение \( x^2 + (x — 1)^2 \) принимает только положительные значения.
1) Рассмотрим выражение:
\( x^2 + (x — 1)^2 \).
2) Вспомним основное свойство квадрата любого действительного числа.
Для любого действительного числа \(a\) верно:
\( a^2 \ge 0 \).
Это означает, что квадрат не может быть отрицательным.
Причина: \(a^2 = a \cdot a\), а произведение двух одинаковых чисел не бывает отрицательным.
3) Применим это свойство к первому слагаемому \(x^2\).
Так как \(x\) — любое действительное число, то:
\( x^2 \ge 0 \) при любых \(x\).
4) Применим то же свойство ко второму слагаемому \((x — 1)^2\).
Число \(x — 1\) тоже является действительным при любом действительном \(x\).
Значит:
\( (x — 1)^2 \ge 0 \) при любых \(x\).
5) Сложим полученные неравенства.
Если \( x^2 \ge 0 \) и \( (x — 1)^2 \ge 0 \), то их сумма тоже неотрицательна:
\( x^2 + (x — 1)^2 \ge 0 \).
То есть выражение не может принимать отрицательные значения.
6) Теперь докажем, что оно не может быть равно нулю, то есть на самом деле всегда строго больше нуля.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в одном случае: когда оба числа равны нулю одновременно.
То есть, чтобы было:
\( x^2 + (x — 1)^2 = 0 \),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось сразу:
\( x^2 = 0 \) и \( (x — 1)^2 = 0 \).
7) Проверим, возможно ли это.
Из \( x^2 = 0 \) следует:
\( x = 0 \).
Из \( (x — 1)^2 = 0 \) следует:
\( x — 1 = 0 \), значит \( x = 1 \).
8) Получили противоречие.
Одно и то же число \(x\) не может одновременно быть равным \(0\) и \(1\).
Значит, не существует такого \(x\), при котором оба квадрата одновременно равны нулю.
9) Следовательно, сумма \( x^2 + (x — 1)^2 \) не может быть равна нулю.
Мы уже знаем, что она неотрицательна, значит остаётся единственная возможность:
\( x^2 + (x — 1)^2 > 0 \) при любых \(x\).
10) Вывод.
Выражение \( x^2 + (x — 1)^2 \) принимает только положительные значения при всех действительных \(x\):
\( x^2 + (x — 1)^2 > 0 \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!