Учебник ГДЗ по алгебре за 7 класс авторов Мерзляка и Полякова на углубленном уровне — это настоящая находка для тех учеников, кто хочет не просто выполнять задания, но и глубоко понимать суть алгебраических действий и закономерностей. Он отличается не только четкой структурой, но и детальными разъяснениями каждого примера, что делает его отличным помощником в учебе.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что выражение (x + 1)² + |x| принимает только положительные значения.
\( (x + 1)^2 + |x| \) → так как \( (x + 1)^2 \ge 0 \) и \( |x| \ge 0 \) при любых \( x \), то значение данного выражения принимает только положительные значения.
Докажем, что выражение \( (x + 1)^2 + |x| \) принимает только положительные значения.
1) Рассмотрим выражение:
\( (x + 1)^2 + |x| \).
2) Разберём отдельно каждое слагаемое и выясним, какие значения оно может принимать.
3) Первое слагаемое \( (x + 1)^2 \).
Для любого действительного числа \(a\) верно свойство:
\( a^2 \ge 0 \).
Применим это к \(a = x + 1\).
Так как \(x\) — любое действительное число, то \(x + 1\) тоже любое действительное число.
Следовательно:
\( (x + 1)^2 \ge 0 \) при любых \(x\).
4) Второе слагаемое \( |x| \).
Модуль числа \(x\) определяется так:
\( |x| = x \), если \( x \ge 0 \),
\( |x| = -x \), если \( x < 0 \).
В обоих случаях значение \( |x| \) неотрицательно.
Поэтому:
\( |x| \ge 0 \) при любых \(x\).
5) Сложим полученные неравенства.
Так как \( (x + 1)^2 \ge 0 \) и \( |x| \ge 0 \), то их сумма тоже неотрицательна:
\( (x + 1)^2 + |x| \ge 0 \).
Это означает, что выражение не может принимать отрицательные значения.
6) Теперь докажем, что выражение не может быть равно нулю, то есть оно всегда строго больше нуля.
Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда оба этих числа равны нулю одновременно.
Значит, чтобы было:
\( (x + 1)^2 + |x| = 0 \),
должно выполняться сразу:
\( (x + 1)^2 = 0 \) и \( |x| = 0 \).
7) Найдём, когда равен нулю квадрат.
Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю:
\( (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
8) Найдём, когда равен нулю модуль.
Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю:
\( |x| = 0 \Rightarrow x = 0 \).
9) Получили противоречие.
Чтобы сумма была равна нулю, нужно одновременно \(x = -1\) и \(x = 0\), но это невозможно.
Следовательно, не существует такого \(x\), при котором одновременно выполняются \( (x + 1)^2 = 0 \) и \( |x| = 0 \).
10) Значит, сумма \( (x + 1)^2 + |x| \) не может быть равна нулю.
Мы уже доказали, что она неотрицательна, поэтому остаётся единственная возможность:
\( (x + 1)^2 + |x| > 0 \) при любых \(x\).
Вывод: выражение \( (x + 1)^2 + |x| \) принимает только положительные значения при всех действительных \(x\).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!