ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет положительных корней уравнение:

1) \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \)

2) \( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \)

1) \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \)

\( (2x^2 + 2) + 5x = 0 \)

\( 2(x^2 + 1) = -5x \) → так как \( 2(x^2 + 1) > 0 \), то \( 5x < 0 \), то есть, \( x < 0 \).

2) \( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \)

\( (x^4 + 4x^2) + (3x^3 + 3x) + 1 = 0 \)

\( x^2(x^2 + 4) + 3x(x^2 + 1) + 1 = 0 \)

\( x^2(x^2 + 4) + 1 = -3x(x^2 + 1) \)

\( \frac{x^2(x^2 + 4) + 1}{x^2 + 1} = -3x \) → так как \( \frac{x^2(x^2 + 4) + 1}{x^2 + 1} > 0 \), то \( 3x < 0 \), то есть, \( x < 0 \).

1) \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \).

1.1) Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить заведомо положительную часть.

\( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \).

Сгруппируем \(2x^2\) и \(2\):

\( (2x^2 + 2) + 5x = 0 \).

1.2) Вынесем \(2\) за скобки в первой группе:

\( 2(x^2 + 1) + 5x = 0 \).

1.3) Перенесём \(5x\) в правую часть:

\( 2(x^2 + 1) = -5x \).

1.4) Докажем, что левая часть всегда строго положительна при любом \(x\).

Так как \(x^2 \ge 0\) при любом \(x\), то:

\( x^2 + 1 \ge 1 \).

Значит:

\( x^2 + 1 > 0 \).

Умножая строго положительное число на \(2\), получаем:

\( 2(x^2 + 1) > 0 \) при любом \(x\).

1.5) Из равенства \( 2(x^2 + 1) = -5x \) следует, что правая часть тоже должна быть строго положительной:

\( -5x > 0 \).

1.6) Разделим обе части неравенства \( -5x > 0 \) на отрицательное число \(-5\).

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\( x < 0 \).

1.7) Получили вывод: любой корень этого уравнения (если он существует) обязан быть отрицательным.

Следовательно, положительных корней уравнение \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \) не имеет.

2) \( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \).

2.1) Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить выражения, которые заведомо неотрицательны.

\( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \).

Сгруппируем \(x^4\) и \(4x^2\), а также \(3x^3\) и \(3x\):

\( (x^4 + 4x^2) + (3x^3 + 3x) + 1 = 0 \).

2.2) Вынесем общие множители в группах.

В первой группе выносим \(x^2\):

\( x^4 + 4x^2 = x^2(x^2 + 4) \).

Во второй группе выносим \(3x\):

\( 3x^3 + 3x = 3x(x^2 + 1) \).

Тогда уравнение примет вид:

\( x^2(x^2 + 4) + 3x(x^2 + 1) + 1 = 0 \).

2.3) Перенесём слагаемое \(3x(x^2 + 1)\) в правую часть:

\( x^2(x^2 + 4) + 1 = -3x(x^2 + 1) \).

2.4) Разделим обе части равенства на \(x^2 + 1\).

Это можно сделать, потому что \(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\), значит деление допустимо и знак неравенств при рассуждениях о знаке не меняется.

Получаем:

\( \frac{x^2(x^2 + 4) + 1}{x^2 + 1} = -3x \).

2.5) Докажем, что левая часть строго положительна при любом \(x\).

Сначала рассмотрим числитель \(x^2(x^2 + 4) + 1\).

Так как \(x^2 \ge 0\), а \(x^2 + 4 \ge 4 > 0\), то произведение \(x^2(x^2 + 4) \ge 0\).

Тогда:

\( x^2(x^2 + 4) + 1 \ge 1 \),

то есть:

\( x^2(x^2 + 4) + 1 > 0 \).

Знаменатель \(x^2 + 1\) тоже строго положителен:

\( x^2 + 1 \ge 1 \Rightarrow x^2 + 1 > 0 \).

Дробь с положительным числителем и положительным знаменателем строго положительна:

\( \frac{x^2(x^2 + 4) + 1}{x^2 + 1} > 0 \).

2.6) Так как левая часть равна правой, то правая часть тоже должна быть строго положительной:

\( -3x > 0 \).

2.7) Разделим неравенство \( -3x > 0 \) на отрицательное число \(-3\).

Знак неравенства меняется:

\( x < 0 \).

2.8) Получили вывод: любой корень уравнения \( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \) обязан быть отрицательным.

Следовательно, положительных корней это уравнение не имеет.

Ответ:

Уравнение \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \) не имеет положительных корней.

Уравнение \( x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0 \) не имеет положительных корней.