ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:

1) \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \)

2) \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \)

1) \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \)

\( x^4 — 5x^3 + 5x^2 + x^2 — 7x + 5 = 0 \)

\( (x^4 + 5x^2) — (5x^3 + 7x) + (x^2 + 5) = 0 \)

\( x^2(x^2 + 5) + (x^2 + 5) — x(5x^2 + 7) = 0 \)

\( (x^2 + 5)(x^2 + 1) = x(5x^2 + 7) \)

\( \frac{(x^2 + 5)(x^2 + 1)}{5x^2 + 7} = x \) → так как \( \frac{(x^2 + 5)(x^2 + 1)}{5x^2 + 7} > 0 \), то \( x > 0 \).

2) \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \)

\( x^8 + x^4 + 1 — x^7 — x^3 — x = 0 \)

\( (x^8 — x^7) + (x^4 — x^3) — (x — 1) = 0 \)

\( x^7(x — 1) + x^3(x — 1) — (x — 1) = 0 \)

\( (x — 1)(x^7 + x^3 — 1) = 0 \)

\( x = 1 \) или \( x^7 + x^3 = 1 \) → тогда, \( x > 0 \).

1) \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \).

1.1) Преобразуем левую часть так, чтобы получить равенство вида \( \text{положительное выражение} = x \).

Начинаем с уравнения:

\( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \).

1.2) Разобьём \(6x^2\) на сумму \(5x^2 + x^2\):

\( x^4 — 5x^3 + 5x^2 + x^2 — 7x + 5 = 0 \).

1.3) Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общие множители:

\( (x^4 + 5x^2) — (5x^3 + 7x) + (x^2 + 5) = 0 \).

1.4) Вынесем общие множители в каждой группе.

Из первой группы выносим \(x^2\):

\( x^4 + 5x^2 = x^2(x^2 + 5) \).

Во второй группе выносим \(x\):

\( 5x^3 + 7x = x(5x^2 + 7) \).

Третья группа уже имеет вид \(x^2 + 5\).

Тогда уравнение принимает вид:

\( x^2(x^2 + 5) — x(5x^2 + 7) + (x^2 + 5) = 0 \).

1.5) Сгруппируем два слагаемых с общим множителем \(x^2 + 5\):

\( x^2(x^2 + 5) + (x^2 + 5) — x(5x^2 + 7) = 0 \).

1.6) Вынесем \(x^2 + 5\) в первых двух слагаемых:

\( (x^2 + 5)(x^2 + 1) — x(5x^2 + 7) = 0 \).

1.7) Перенесём \(x(5x^2 + 7)\) в правую часть:

\( (x^2 + 5)(x^2 + 1) = x(5x^2 + 7) \).

1.8) Разделим обе части на \(5x^2 + 7\).

Это можно сделать, потому что при любом \(x\) выполняется \(x^2 \ge 0\), значит:

\( 5x^2 \ge 0 \Rightarrow 5x^2 + 7 \ge 7 \Rightarrow 5x^2 + 7 > 0 \).

Получаем:

\( \frac{(x^2 + 5)(x^2 + 1)}{5x^2 + 7} = x \).

1.9) Определим знак левой части.

При любом \(x\):

\( x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 5 \ge 5 > 0 \Rightarrow x^2 + 5 > 0 \).

Также:

\( x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge 1 > 0 \Rightarrow x^2 + 1 > 0 \).

Произведение положительных чисел положительно:

\( (x^2 + 5)(x^2 + 1) > 0 \).

Знаменатель \(5x^2 + 7 > 0\), значит дробь положительна:

\( \frac{(x^2 + 5)(x^2 + 1)}{5x^2 + 7} > 0 \).

1.10) Но левая часть равна \(x\), значит:

\( x > 0 \).

Следовательно, любой корень (если он существует) обязан быть положительным.

Значит, отрицательных корней уравнение \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \) не имеет.

2) \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \).

2.1) Перенесём всё в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:

\( x^8 + x^4 + 1 — x^7 — x^3 — x = 0 \).

2.2) Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить общий множитель \(x — 1\).

Сгруппируем пары \(x^8 — x^7\) и \(x^4 — x^3\), а также оставшиеся \(-x + 1\) запишем как \(-(x — 1)\):

\( (x^8 — x^7) + (x^4 — x^3) — (x — 1) = 0 \).

2.3) Вынесем общий множитель \(x — 1\) в первых двух разностях.

\( x^8 — x^7 = x^7(x — 1) \).

\( x^4 — x^3 = x^3(x — 1) \).

Тогда получаем:

\( x^7(x — 1) + x^3(x — 1) — (x — 1) = 0 \).

2.4) Вынесем \(x — 1\) за скобки:

\( (x — 1)(x^7 + x^3 — 1) = 0 \).

2.5) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\( x — 1 = 0 \) или \( x^7 + x^3 — 1 = 0 \).

2.6) Из первого уравнения получаем:

\( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Число \(1\) не является отрицательным, значит оно не даёт отрицательного корня.

2.7) Рассмотрим второе уравнение:

\( x^7 + x^3 — 1 = 0 \).

Перенесём \(-1\) в правую часть:

\( x^7 + x^3 = 1 \).

2.8) Проверим, может ли это равенство выполниться при отрицательном \(x\).

Пусть \(x < 0\).

Тогда степень \(7\) нечётная, значит:

\( x^7 < 0 \).

Степень \(3\) тоже нечётная, значит:

\( x^3 < 0 \).

Сумма двух отрицательных чисел отрицательна:

\( x^7 + x^3 < 0 \).

2.9) Но правая часть равенства равна \(1\), а это положительное число:

\( 1 > 0 \).

Получаем невозможное: слева отрицательное, справа положительное, значит равенство \( x^7 + x^3 = 1 \) при \(x < 0\) выполниться не может.

2.10) Следовательно, второе уравнение тоже не имеет отрицательных решений.

Итак, уравнение \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \) не имеет отрицательных корней.

Ответ:

Уравнение \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \) не имеет отрицательных корней.

Уравнение \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \) не имеет отрицательных корней.