ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 2^5 \);

2) \( 0,6^2 \);

3) \( 1,5^3  \);

4) \( 0^6  \);

5) \( 1^{12}  \);

6) \( (-1)^{12}  \);

7) \( \left(\frac{3}{4}\right)^4  \);

8) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 \).

1) \( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32 \);

2) \( 0,6^2 = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \);

3) \( 1,5^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375 \);

4) \( 0^6 = 0 \);

5) \( 1^{12} = 1 \);

6) \( (-1)^{12} = 1 \);

7) \( \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \cdot \frac{9}{16} = \frac{81}{256} \);

8) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{16}{9} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) =\)

\(= -\frac{64}{27} = -2\frac{10}{27} \).

Пояснение: степень \( a^n \) означает произведение \( n \) одинаковых множителей \( a \):

\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}} \).

Рассмотрим по порядку каждый пример.

1) \( 2^5 \)

Степень \( 2^5 \) означает, что число 2 умножается само на себя 5 раз:

\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \).

Выполним умножение по шагам, группируя множители:

\( 2 \cdot 2 = 4 \).

Тогда:

\( 2^5 = 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \).

Ещё раз умножим \( 2 \cdot 2 = 4 \):

\( 2^5 = 4 \cdot 4 \cdot 2 \).

Теперь \( 4 \cdot 4 = 16 \):

\( 2^5 = 16 \cdot 2 \).

И \( 16 \cdot 2 = 32 \):

\( 2^5 = 32 \).

Ответ: \( 32 \).

2) \( 0,6^2 \)

Степень 2 означает квадрат, то есть умножение числа на само себя:

\( 0,6^2 = 0,6 \cdot 0,6 \).

Умножим десятичные дроби. Можно умножить как целые числа \(6 \cdot 6 = 36\), а затем поставить запятую, так как в каждом множителе по 1 знаку после запятой, всего 2 знака:

\( 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \).

Ответ: \( 0,36 \).

3) \( 1,5^3 \)

Куб числа означает умножение на себя три раза:

\( 1,5^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 \).

Сначала перемножим первые два множителя:

\( 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \).

Теперь умножим результат на третий множитель:

\( 2,25 \cdot 1,5 \).

Умножим как целые числа \(225 \cdot 15 = 3375\), затем поставим запятую: в числе 2,25 два знака после запятой, в числе 1,5 один знак после запятой, всего 3 знака:

\( 2,25 \cdot 1,5 = 3,375 \).

Ответ: \( 3,375 \).

4) \( 0^6 \)

Степень \( 0^6 \) означает произведение шести нулей:

\( 0^6 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \).

Произведение, в котором хотя бы один множитель равен нулю, равно нулю. Здесь все множители — нули, значит:

\( 0^6 = 0 \).

Ответ: \( 0 \).

5) \( 1^{12} \)

Это произведение двенадцати единиц:

\( 1^{12} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \).

Единица при умножении не изменяет число, а произведение любых единиц равно 1, поэтому:

\( 1^{12} = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

6) \( (-1)^{12} \)

Это произведение двенадцати множителей \((-1)\):

\( (-1)^{12} = \underbrace{(-1)\cdot(-1)\cdot\ldots\cdot(-1)}_{12 \text{ множителей}} \).

Здесь важно, что показатель степени 12 — чётное число.

Произведение двух отрицательных чисел положительно:

\( (-1)\cdot(-1)=1 \).

Можно сгруппировать множители попарно. Так как 12 — чётное, получится 6 пар:

\( (-1)^{12} = \underbrace{\left((-1)\cdot(-1)\right)\cdot\left((-1)\cdot(-1)\right)\cdot\ldots\cdot\left((-1)\cdot(-1)\right)}_{6 \text{ пар}} \).

Каждая пара равна 1, значит произведение равно:

\( 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \).

Ответ: \( 1 \).

7) \( \left(\frac{3}{4}\right)^4 \)

Степень 4 означает произведение четырёх одинаковых множителей:

\( \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4} \).

Удобно перемножать попарно:

\( \frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4} = \frac{3\cdot 3}{4\cdot 4} = \frac{9}{16} \).

Так как таких пар две, получаем:

\( \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{9}{16}\cdot\frac{9}{16} \).

Перемножим дроби:

\( \frac{9}{16}\cdot\frac{9}{16} = \frac{9\cdot 9}{16\cdot 16} = \frac{81}{256} \).

Ответ: \( \frac{81}{256} \).

8) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 \)

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

\( -1\frac{1}{3} \) означает отрицательное число, по модулю равное \( 1\frac{1}{3} \).

Преобразуем \( 1\frac{1}{3} \) в неправильную дробь:

\( 1\frac{1}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \).

Значит:

\( -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \).

Теперь вычислим куб:

\( \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 \).

Куб — это произведение трёх одинаковых множителей:

\( \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) \).

Сначала перемножим первые два множителя:

\( \left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{16}{9} \), потому что минус на минус даёт плюс, а \( \frac{4\cdot 4}{3\cdot 3}=\frac{16}{9} \).

Теперь умножим на третий множитель:

\( \frac{16}{9}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{16\cdot 4}{9\cdot 3} \).

Вычислим числитель и знаменатель:

\( 16\cdot 4 = 64 \), \( 9\cdot 3 = 27 \).

Тогда:

\( \frac{16}{9}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{64}{27} \).

Переведём неправильную дробь в смешанное число:

\( \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27} \), потому что \( 27\cdot 2 = 54 \), остаток \( 64 — 54 = 10 \).

Значит:

\( -\frac{64}{27} = -2\frac{10}{27} \).

Ответ: \( -2\frac{10}{27} \).