ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях x и y верно равенство \( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \)?

\( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \)

\( x^8 = 0 \) и \( y — 3 = 0 \)

\( x = 0 \) \( \qquad y = 3 \).

Ответ: \( x = 0 \) и \( y = 3 \).

При каких значениях \(x\) и \(y\) верно равенство \( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \)?

1) Рассмотрим уравнение:

\( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \).

2) Заметим, что оно состоит из суммы двух выражений:

\( x^8 \) и \( (y — 3)^2 \).

3) Определим, какие значения может принимать каждое из этих выражений.

4) Первое слагаемое \( x^8 \).

Степень \(8\) — чётная, поэтому для любого действительного \(x\) значение \(x^8\) неотрицательно:

\( x^8 \ge 0 \) при любых \(x\).

Это можно объяснить так: \( x^8 = (x^4)^2 \), а квадрат любого числа неотрицателен, значит \( (x^4)^2 \ge 0 \).

5) Второе слагаемое \( (y — 3)^2 \).

Это квадрат числа \(y — 3\), поэтому для любого действительного \(y\) выполняется:

\( (y — 3)^2 \ge 0 \) при любых \(y\).

6) Тогда сумма двух неотрицательных чисел тоже неотрицательна:

\( x^8 + (y — 3)^2 \ge 0 \) при любых \(x\) и \(y\).

7) По условию эта сумма равна нулю:

\( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \).

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в одном случае: когда оба эти числа равны нулю одновременно.

8) Значит, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система:

\( x^8 = 0 \) и \( (y — 3)^2 = 0 \).

9) Решим каждое уравнение отдельно.

Уравнение \( x^8 = 0 \) выполняется только при \(x = 0\), потому что степень числа равна нулю только тогда, когда основание равно нулю:

\( x^8 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Уравнение \( (y — 3)^2 = 0 \) выполняется только тогда, когда \(y — 3 = 0\):

\( (y — 3)^2 = 0 \Rightarrow y — 3 = 0 \Rightarrow y = 3 \).

10) Сделаем вывод.

Равенство \( x^8 + (y — 3)^2 = 0 \) верно только при:

\( x = 0 \) и \( y = 3 \).

Ответ: \( x = 0 \), \( y = 3 \).