ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \( 101^{101} + 103^{103} \) делится нацело на 2;

2) \( 16^7 + 15^8 — 11^9 \) делится нацело на 10;

3) \( 10^{10} — 7 \) делится нацело на 3;

4) \( 6^n — 1 \) делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) \( 101^{101} + 103^{103} \);

\( 101^{101} \) → оканчивается на 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1;

\( 103^{103} \) → оканчивается на нечетную цифру, так как 3 в любой степени оканчивается на 1; 3; 9; 7.

Тогда,

\( 101^{101} + 103^{103} = \text{нечетное число} + \text{нечетное число} = = \text{четное число} \), а четное число всегда делится на 2.

2) \( 16^7 + 15^8 — 11^9 \);

\( 16^7 \) → оканчивается на 6, так как 6 в любой степени оканчивается на 6;

\( 15^8 \) → оканчивается на 5, так как 5 в любой степени оканчивается на 5;

\( 11^9 \) → оканчивается на 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Тогда,

\( 16^7 + 15^8 — 11^9 = (\ldots 6) + (\ldots 5) — (\ldots 1) = (\ldots 0) \) → делится нацело на 10.

3) \( 10^{10} — 7 \);

\( 10^{10} \) → оканчивается на 0, так как 10 в любой степени оканчивается на 0.

Тогда,

\( 10^{10} — 7 = (10\ldots 0) — 7 = \left( \underbrace{9\ldots 9}_{9 \text{ девяток}} 3 \right) \) → делится нацело на 3.

4) \( 6^n — 1 \);

\( 6^n \) → оканчивается на 6, так как 6 в любой степени оканчивается на 6.

Тогда,

\( 6^n — 1 = (\ldots 6) — 1 = (\ldots 5) \) → делится нацело на 5.

Докажите, что значение выражения:

1) \( 101^{101} + 103^{103} \) делится нацело на \(2\).

1.1) Чтобы число делилось на \(2\), оно должно быть чётным.

Чётность числа удобно определять по последней цифре: число чётное тогда и только тогда, когда его последняя цифра одна из \(0, 2, 4, 6, 8\).

1.2) Найдём последнюю цифру числа \(101^{101}\).

Число \(101\) оканчивается на \(1\), то есть последняя цифра равна \(1\).

При возведении в степень последняя цифра зависит только от последней цифры основания.

Так как \(1\) в любой натуральной степени оканчивается на \(1\), то:

\( 101^{101} \) оканчивается на \(1\).

Следовательно, \(101^{101}\) — нечётное число.

1.3) Найдём последнюю цифру числа \(103^{103}\).

Число \(103\) оканчивается на \(3\), поэтому последняя цифра \(103^{103}\) совпадает с последней цифрой \(3^{103}\).

Рассмотрим последние цифры степеней числа \(3\):

\( 3^1 = 3 \) (оканчивается на \(3\)),

\( 3^2 = 9 \) (оканчивается на \(9\)),

\( 3^3 = 27 \) (оканчивается на \(7\)),

\( 3^4 = 81 \) (оканчивается на \(1\)).

Дальше последние цифры повторяются с периодом \(4\): \(3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, \ldots\)

Значит, \(3^{103}\) оканчивается на одну из цифр \(3, 9, 7, 1\), то есть на нечётную цифру.

Следовательно, \(103^{103}\) — нечётное число.

1.4) Сумма двух нечётных чисел всегда чётна.

Если сложить два числа, оканчивающиеся на нечётные цифры, то получится число, оканчивающееся на чётную цифру.

Поэтому:

\( 101^{101} + 103^{103} \) — чётное число.

1.5) Любое чётное число делится на \(2\).

Значит:

\( 101^{101} + 103^{103} \) делится нацело на \(2\).

2) \( 16^7 + 15^8 — 11^9 \) делится нацело на \(10\).

2.1) Чтобы число делилось на \(10\), оно должно оканчиваться на \(0\).

То есть его последняя цифра должна быть \(0\).

2.2) Найдём последнюю цифру \(16^7\).

Число \(16\) оканчивается на \(6\).

Число \(6\) в любой натуральной степени оканчивается на \(6\), потому что:

\( 6^1 = 6 \), \( 6^2 = 36 \), \( 6^3 = 216 \), и каждый раз последняя цифра остаётся \(6\).

Значит:

\( 16^7 \) оканчивается на \(6\).

2.3) Найдём последнюю цифру \(15^8\).

Число \(15\) оканчивается на \(5\).

Число \(5\) в любой натуральной степени оканчивается на \(5\):

\( 5^1 = 5 \), \( 5^2 = 25 \), \( 5^3 = 125 \), и последняя цифра всегда \(5\).

Значит:

\( 15^8 \) оканчивается на \(5\).

2.4) Найдём последнюю цифру \(11^9\).

Число \(11\) оканчивается на \(1\).

Число \(1\) в любой натуральной степени оканчивается на \(1\).

Значит:

\( 11^9 \) оканчивается на \(1\).

2.5) Теперь найдём последнюю цифру всего выражения.

Последняя цифра суммы и разности определяется последними цифрами слагаемых.

Имеем:

\( 16^7 + 15^8 — 11^9 = (\ldots 6) + (\ldots 5) — (\ldots 1) \).

Сначала сложим последние цифры первых двух чисел:

\( 6 + 5 = 11 \), последняя цифра результата \(1\).

Теперь вычтем последнюю цифру третьего числа:

\( 1 — 1 = 0 \).

Значит, последняя цифра всего выражения равна \(0\), то есть:

\( 16^7 + 15^8 — 11^9 = (\ldots 0) \).

2.6) Любое число, оканчивающееся на \(0\), делится нацело на \(10\).

Следовательно:

\( 16^7 + 15^8 — 11^9 \) делится нацело на \(10\).

3) \( 10^{10} — 7 \) делится нацело на \(3\).

3.1) Удобно использовать признак делимости на \(3\): число делится на \(3\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на \(3\).

Но здесь проще сначала понять, как выглядит число \(10^{10}\).

3.2) Запишем \(10^{10}\) в десятичной записи.

\( 10^1 = 10 \),

\( 10^2 = 100 \),

\( 10^3 = 1000 \).

Каждая степень \(10^k\) — это \(1\) и затем \(k\) нулей.

Значит:

\( 10^{10} = 10000000000 \) (то есть \(1\) и \(10\) нулей).

3.3) Вычтем \(7\):

\( 10^{10} — 7 = 10000000000 — 7 \).

Так как мы вычитаем \(7\) из числа, оканчивающегося на нули, происходит заём, и результат будет иметь вид: несколько девяток и затем цифра \(3\).

Получаем:

\( 10^{10} — 7 = 9999999993 \).

3.4) Проверим делимость на \(3\) по сумме цифр.

Сумма цифр числа \(9999999993\) равна:

\( 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 3 \).

Здесь девяток \(9\) штук, значит сумма девяток:

\( 9 \cdot 9 = 81 \).

Добавим \(3\):

\( 81 + 3 = 84 \).

3.5) Проверим, делится ли \(84\) на \(3\):

\( 84 = 3 \cdot 28 \), значит \(84\) делится на \(3\).

3.6) Тогда по признаку делимости на \(3\) число \(9999999993\) делится на \(3\).

Следовательно:

\( 10^{10} — 7 \) делится нацело на \(3\).

4) \( 6^n — 1 \) делится нацело на \(5\) при любом натуральном значении \(n\).

4.1) Чтобы число делилось на \(5\), оно должно оканчиваться на \(0\) или на \(5\).

4.2) Найдём последнюю цифру числа \(6^n\).

Число \(6\) в любой натуральной степени оканчивается на \(6\).

Это видно по первым степеням:

\( 6^1 = 6 \),

\( 6^2 = 36 \),

\( 6^3 = 216 \),

\( 6^4 = 1296 \).

Каждый раз последняя цифра равна \(6\), значит:

\( 6^n = (\ldots 6) \) при любом натуральном \(n\).

4.3) Тогда рассмотрим разность:

\( 6^n — 1 = (\ldots 6) — 1 \).

Если от числа, оканчивающегося на \(6\), вычесть \(1\), получится число, оканчивающееся на \(5\):

\( (\ldots 6) — 1 = (\ldots 5) \).

4.4) Любое число, оканчивающееся на \(5\), делится на \(5\).

Следовательно:

\( 6^n — 1 \) делится нацело на \(5\) при любом натуральном \(n\).

Ответ:

1) \( 101^{101} + 103^{103} \) делится нацело на \(2\).

2) \( 16^7 + 15^8 — 11^9 \) делится нацело на \(10\).

3) \( 10^{10} — 7 \) делится нацело на \(3\).

4) \( 6^n — 1 \) делится нацело на \(5\) при любом натуральном \(n\).