ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \( 10^{100} + 8 \) делится нацело на 9;

2) \( 111^n — 6 \) делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) \( 10^{100} + 8 \);

\( 10^{100} \) → оканчивается на 0, так как 10 в любой степени оканчивается на 0.

Тогда,

\( 10^{100} + 8 = (10\ldots 0) + 8 = \left(1 \underbrace{0\ldots}_{100 \text{ нулей}} 8\right) \) → делится нацело на 9, так как сумма цифр данного числа делится на 9.

2) \( 111^n — 6 \);

\( 111^n \) → оканчивается на 1, так как 1 в любой степени оканчивается на 1.

Тогда,

\( 111^n — 6 = (\ldots 1) — 6 = (\ldots 5) \) → делится нацело на 5.

1) Докажем, что \( 10^{100} + 8 \) делится нацело на \(9\).

1.1) Используем признак делимости на \(9\).

Число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на \(9\).

1.2) Найдём десятичную запись числа \(10^{100}\).

Известно, что \(10^k\) в десятичной записи — это \(1\) и затем \(k\) нулей.

Значит:

\( 10^{100} = 1\underbrace{00\ldots 0}_{100 \text{ нулей}} \).

1.3) Прибавим \(8\) к \(10^{100}\).

Так как \(10^{100}\) оканчивается нулями, то при сложении \(10^{100} + 8\) изменятся только последние цифры: вместо последнего нуля появится \(8\), а остальные нули сохранятся.

Получаем число вида:

\( 10^{100} + 8 = \left(1\underbrace{00\ldots 0}_{99 \text{ нулей}}8\right) \).

1.4) Найдём сумму цифр числа \(10^{100} + 8\).

В этом числе одна цифра \(1\), затем \(99\) нулей и последняя цифра \(8\).

Сумма цифр равна:

\( 1 + 0 + 0 + \ldots + 0 + 8 \).

Нули на сумму не влияют, значит:

\( 1 + 8 = 9 \).

1.5) Проверим делимость суммы цифр на \(9\).

\( 9 \) делится на \(9\), потому что:

\( 9 = 9 \cdot 1 \).

1.6) По признаку делимости на \(9\) получаем:

\( 10^{100} + 8 \) делится нацело на \(9\).

2) Докажем, что \( 111^n — 6 \) делится нацело на \(5\) при любом натуральном \(n\).

2.1) Используем признак делимости на \(5\).

Число делится на \(5\) тогда и только тогда, когда оно оканчивается на \(0\) или на \(5\).

2.2) Найдём последнюю цифру числа \(111^n\).

Число \(111\) оканчивается на \(1\).

При возведении в степень последняя цифра результата зависит только от последней цифры основания.

Так как \(1\) в любой натуральной степени оканчивается на \(1\), то:

\( 111^n \) оканчивается на \(1\) при любом натуральном \(n\).

2.3) Тогда число \(111^n\) можно записать в виде:

\( 111^n = 10k + 1 \), где \(k\) — некоторое целое число (это означает, что последняя цифра равна \(1\)).

2.4) Вычтем \(6\):

\( 111^n — 6 = (10k + 1) — 6 = 10k — 5 \).

2.5) Вынесем \(5\) за скобки:

\( 10k — 5 = 5(2k — 1) \).

2.6) Число \(2k — 1\) является целым, потому что \(k\) — целое число.

Значит, \(111^n — 6\) представлено в виде произведения \(5\) и целого числа.

2.7) Следовательно, \(111^n — 6\) делится на \(5\) при любом натуральном \(n\).

Также это видно по последней цифре.

Так как \(111^n\) оканчивается на \(1\), то:

\( 111^n — 6 = (\ldots 1) — 6 = (\ldots 5) \).

Любое число, оканчивающееся на \(5\), делится на \(5\).

Ответ:

1) \( 10^{100} + 8 \) делится нацело на \(9\).

2) \( 111^n — 6 \) делится нацело на \(5\) при любом натуральном \(n\).