ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа a, b, c и d отличны от нуля. Верно ли, что среди значений выражений -ab, -bc, cd, -da есть как положительные, так и отрицательные?

Рассмотрим произведение данных выражений:

\( -ab \cdot (-bc) \cdot cd \cdot (-da) = -ab \cdot bc \cdot cd \cdot da = -a^2b^2c^2d^2 \).

Так как \( a^2b^2c^2d^2 \ge 0 \) при любых \( a, b, c \) и \( d \), то среди значений выражений \( (-ab), (-bc), cd, (-da) \) есть как положительные, так и отрицательные.

Числа \(a, b, c\) и \(d\) отличны от нуля. Нужно выяснить, верно ли, что среди значений выражений \( -ab \), \( -bc \), \( cd \), \( -da \) есть как положительные, так и отрицательные.

1) Обозначим данные выражения, чтобы было удобнее рассуждать о знаках:

\( E_1 = -ab \),

\( E_2 = -bc \),

\( E_3 = cd \),

\( E_4 = -da \).

2) Так как \(a, b, c, d \ne 0\), то произведения \(ab, bc, cd, da\) тоже не равны нулю.

Следовательно, каждое из чисел \(E_1, E_2, E_3, E_4\) тоже не равно нулю.

Значит, каждое из них либо положительное, либо отрицательное.

3) Чтобы понять, могут ли все четыре значения оказаться одного знака, рассмотрим произведение всех четырёх выражений.

Вычислим произведение:

\( E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot E_4 = (-ab)\cdot(-bc)\cdot(cd)\cdot(-da) \).

4) Перемножим по шагам.

Сначала умножим первые два множителя:

\( (-ab)\cdot(-bc) = (+1)\cdot ab\cdot bc = ab\cdot bc \),

потому что произведение двух отрицательных чисел положительно.

5) Теперь учтём оставшиеся множители \(cd\) и \((-da)\):

\( (-ab)\cdot(-bc)\cdot(cd)\cdot(-da) = (ab\cdot bc)\cdot(cd)\cdot(-da) \).

6) Объединим все буквенные множители:

\( ab\cdot bc\cdot cd\cdot da = (a\cdot b)\cdot(b\cdot c)\cdot(c\cdot d)\cdot(d\cdot a) \).

Перемножим одинаковые буквы:

\( (a\cdot a)(b\cdot b)(c\cdot c)(d\cdot d) = a^2b^2c^2d^2 \).

7) При этом ещё остаётся знак от последнего множителя \((-da)\), то есть общий знак произведения будет отрицательным, потому что среди четырёх множителей ровно три с минусом: \((-ab)\), \((-bc)\), \((-da)\).

Следовательно:

\( (-ab)\cdot(-bc)\cdot(cd)\cdot(-da) = -a^2b^2c^2d^2 \).

8) Определим знак полученного числа.

Так как \(a, b, c, d \ne 0\), то:

\( a^2 > 0 \), \( b^2 > 0 \), \( c^2 > 0 \), \( d^2 > 0 \).

Произведение положительных чисел положительно, значит:

\( a^2b^2c^2d^2 > 0 \).

Тогда:

\( -a^2b^2c^2d^2 < 0 \).

Итак, произведение \(E_1 \cdot E_2 \cdot E_3 \cdot E_4\) строго отрицательно.

9) Теперь используем факт о знаке произведения.

Произведение нескольких ненулевых чисел отрицательно тогда и только тогда, когда среди множителей нечётное количество отрицательных чисел.

Здесь произведение отрицательно, значит среди \(E_1, E_2, E_3, E_4\) нечётное число отрицательных значений.

Возможные варианты нечётного количества отрицательных среди четырёх чисел — это \(1\) или \(3\) (вариант \(0\), \(2\), \(4\) не подходит).

10) Проверим, что из этого следует.

Если отрицательных ровно \(1\), то остальные \(3\) положительные.

Если отрицательных ровно \(3\), то остаётся \(1\) положительное.

В обоих случаях среди четырёх значений обязательно есть и положительные, и отрицательные.

То есть невозможно, чтобы все четыре значения были только положительными, и невозможно, чтобы все четыре были только отрицательными.

Вывод:

Да, верно: среди значений выражений \( -ab \), \( -bc \), \( cd \), \( -da \) обязательно есть как положительные, так и отрицательные (при условии \(a, b, c, d \ne 0\)).