ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Восстановите запись \( \text{ААА}^\text{А} = ********\).

Методом перебора вычислим, что \( A = 3 \).

\( \text{ААА}^\text{А} = ******** \Longrightarrow 333^3 = 36\,926\,037 \).

Восстановите запись \( \text{ААА}^\text{А} = ******** \).

1) Запись \( \text{ААА} \) означает трёхзначное число, все цифры которого равны \( \text{А} \).

То есть:

\( \text{ААА} = 111\cdot \text{А} \).

Например, если \( \text{А} = 3 \), то \( \text{ААА} = 333 \).

2) В записи \( \text{ААА}^\text{А} \) показатель степени тоже равен цифре \( \text{А} \).

Значит, нужно подобрать цифру \( \text{А} \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \), при которой значение \( \text{ААА}^\text{А} \) является восьмизначным числом, потому что справа записано \(********\) (8 звёздочек).

3) Проверим, при каких \( \text{А} \) число \( \text{ААА}^\text{А} \) может быть восьмизначным.

3.1) Если \( \text{А} = 1 \), то:

\( 111^1 = 111 \) — трёхзначное, не подходит.

3.2) Если \( \text{А} = 2 \), то:

\( 222^2 = 49\,284 \) — пятизначное, не подходит.

3.3) Если \( \text{А} = 3 \), то:

\( 333^3 \) — нужно проверить, сколько цифр получится.

Вычислим \(333^3\):

\( 333^2 = 333 \cdot 333 \).

\( 333 \cdot 333 = 333(300 + 30 + 3) = 333 \cdot 300 + 333 \cdot 30 + 333 \cdot 3 \).

\( 333 \cdot 300 = 99\,900 \).

\( 333 \cdot 30 = 9\,990 \).

\( 333 \cdot 3 = 999 \).

Складываем:

\( 99\,900 + 9\,990 = 109\,890 \).

\( 109\,890 + 999 = 110\,889 \).

Значит:

\( 333^2 = 110\,889 \).

Теперь умножим на \(333\), чтобы получить куб:

\( 333^3 = 110\,889 \cdot 333 \).

\( 110\,889 \cdot 333 = 110\,889(300 + 30 + 3) \).

\( 110\,889 \cdot 300 = 33\,266\,700 \).

\( 110\,889 \cdot 30 = 3\,326\,670 \).

\( 110\,889 \cdot 3 = 332\,667 \).

Складываем:

\( 33\,266\,700 + 3\,326\,670 = 36\,593\,370 \).

\( 36\,593\,370 + 332\,667 = 36\,926\,037 \).

Значит:

\( 333^3 = 36\,926\,037 \).

Это число имеет \(8\) цифр, значит подходит формату \(********\).

4) Проверим, нужно ли рассматривать большие значения \( \text{А} \).

Если \( \text{А} = 4 \), то \(444^4\) — число намного больше восьмизначного, потому что уже \(444^2\) около \(200\,000\), а \(444^4 = (444^2)^2\) будет около \(40\,000\,000\,000\) (то есть порядка \(10^{10}\)), это больше \(99\,999\,999\).

Значит, при \( \text{А} \ge 4 \) получится число с количеством цифр больше \(8\), и условию \(********\) (8 цифр) оно не соответствует.

5) Следовательно, единственное подходящее значение:

\( \text{А} = 3 \).

6) Восстановим полную запись ребуса.

\( \text{ААА} = 333 \).

\( \text{А} = 3 \).

\( 333^3 = 36\,926\,037 \).

Ответ:

\( 333^3 = 36\,926\,037 \).