ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Выполните возведение в степень:

1) \( 7^2  \);

2) \( 0,5^3  \);

3) \( 1,2^2  \);

4) \( (-1)^7 \);

5) \( (-0,8)^3  \);

6) \( \left(\frac{1}{6}\right)^4  \);

7) \( \left(-\frac{1}{2}\right)^6  \);

8) \( \left(-3\frac{1}{3}\right)^3 \).

1) \( 7^2 = 7 \cdot 7 = 49 \);

2) \( 0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125 \);

3) \( 1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \);

4) \( (-1)^7 = -1 \);

5) \( (-0,8)^3 = (-0,8) \cdot (-0,8) \cdot (-0,8) = 0,64 \cdot (-0,8) = -0,512 \);

6) \( \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{1296} \);

7) \( \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} =\)

\(= \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64} \);

8) \( \left(-3\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{10}{3}\right)^3 = \left(-\frac{10}{3}\right) \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{100}{9} \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) =\)

\(= -\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27} \).

Пояснение: степень \( a^n \) означает произведение \( n \) одинаковых множителей \( a \):

\( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}} \).

Рассмотрим каждый пункт.

1) \( 7^2 \)

Показатель степени 2 означает квадрат:

\( 7^2 = 7 \cdot 7 \).

Перемножим:

\( 7 \cdot 7 = 49 \).

Ответ: \( 49 \).

2) \( 0,5^3 \)

Куб означает произведение трёх одинаковых множителей:

\( 0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \).

Сначала перемножим первые два множителя:

\( 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \).

Теперь умножим полученный результат на третий множитель:

\( 0,25 \cdot 0,5 = 0,125 \).

Ответ: \( 0,125 \).

3) \( 1,2^2 \)

Квадрат числа:

\( 1,2^2 = 1,2 \cdot 1,2 \).

Умножим: \(12 \cdot 12 = 144\), затем поставим запятую, так как всего 2 знака после запятой (по 1 в каждом множителе):

\( 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \).

Ответ: \( 1,44 \).

4) \( (-1)^7 \)

Это произведение семи множителей \((-1)\):

\( (-1)^7 = \underbrace{(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)}_{7 \text{ множителей}} \).

Важно, что показатель степени 7 — нечётный.

Произведение нечётного количества отрицательных единиц остаётся отрицательным.

Можно сгруппировать 6 множителей попарно и один оставить:

\( (-1)^7 = \left((-1)\cdot(-1)\right)\cdot\left((-1)\cdot(-1)\right)\cdot\left((-1)\cdot(-1)\right)\cdot(-1) \).

Каждая пара равна 1:

\( (-1)\cdot(-1) = 1 \).

Тогда:

\( (-1)^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1 \).

Ответ: \( -1 \).

5) \( (-0,8)^3 \)

Куб:

\( (-0,8)^3 = (-0,8)\cdot(-0,8)\cdot(-0,8) \).

Сначала перемножим первые два множителя:

\( (-0,8)\cdot(-0,8) = 0,64 \), так как произведение двух отрицательных чисел положительно, а \(0,8\cdot 0,8 = 0,64\).

Теперь умножим результат на третий множитель \((-0,8)\):

\( 0,64 \cdot (-0,8) \).

Умножаем модули: \( 0,64 \cdot 0,8 = 0,512 \), и ставим минус, потому что положительное на отрицательное даёт отрицательное:

\( 0,64 \cdot (-0,8) = -0,512 \).

Ответ: \( -0,512 \).

6) \( \left(\frac{1}{6}\right)^4 \)

Степень 4 означает произведение четырёх одинаковых дробей:

\( \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} \).

Перемножим попарно:

\( \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 1}{6\cdot 6} = \frac{1}{36} \).

Тогда:

\( \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{36} \).

Перемножим:

\( \frac{1}{36}\cdot\frac{1}{36} = \frac{1\cdot 1}{36\cdot 36} = \frac{1}{1296} \).

Ответ: \( \frac{1}{1296} \).

7) \( \left(-\frac{1}{2}\right)^6 \)

Степень 6 означает произведение шести множителей:

\( \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \underbrace{\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}_{6 \text{ множителей}} \).

Показатель степени 6 — чётный, значит результат будет положительным.

Сгруппируем попарно:

\( \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \).

Так как 6 множителей — это 3 пары, получаем:

\( \left(-\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} \).

Сначала перемножим первые две дроби:

\( \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \).

Теперь умножим на третью:

\( \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{64} \).

Ответ: \( \frac{1}{64} \).

8) \( \left(-3\frac{1}{3}\right)^3 \)

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

\( 3\frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \).

Так как число отрицательное, получаем:

\( -3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3} \).

Теперь вычислим куб:

\( \left(-3\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{10}{3}\right)^3 \).

Куб — это произведение трёх одинаковых множителей:

\( \left(-\frac{10}{3}\right)^3 = \left(-\frac{10}{3}\right)\cdot\left(-\frac{10}{3}\right)\cdot\left(-\frac{10}{3}\right) \).

Сначала перемножим первые два множителя:

\( \left(-\frac{10}{3}\right)\cdot\left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{100}{9} \), потому что минус на минус даёт плюс, а \( \frac{10\cdot 10}{3\cdot 3}=\frac{100}{9} \).

Теперь умножим результат на третий множитель \(\left(-\frac{10}{3}\right)\):

\( \frac{100}{9}\cdot\left(-\frac{10}{3}\right) = -\frac{100\cdot 10}{9\cdot 3} \).

Вычислим числитель и знаменатель:

\( 100\cdot 10 = 1000 \), \( 9\cdot 3 = 27 \).

Получаем:

\( -\frac{1000}{27} \).

Переведём \( \frac{1000}{27} \) в смешанное число.

Найдём целую часть: \( 27\cdot 37 = 999 \).

Остаток: \( 1000 — 999 = 1 \).

Значит:

\( \frac{1000}{27} = 37\frac{1}{27} \).

Тогда:

\( -\frac{1000}{27} = -37\frac{1}{27} \).

Ответ: \( -37\frac{1}{27} \).