ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 6.54 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что одно из чисел a, b и c положительное, второе — отрицательное, а третье равно нулю, причем |a| = b²(b — c). Установите, какое из чисел является положительным, какое отрицательным и какое равно нулю.

\( |a| = b^2(b — c) \).

Сразу можно сказать, что число \( c \) равно 0, так как если \( c = 0 \), то на равенство это не повлияет.

\( |a| = b^2(b — c) \)

\( |a| = b^3 — b^2c \).

Из равенства видно, что \( b > 0 \), так как если \( b < 0 \), то и \( b^3 < 0 \).

А \( a < 0 \), так как \( |a| > 0 \).

Тогда \( |a| > 0 \) и \( b^3 > 0 \), а \( b^2c = 0 \). И равенство выполняется.

Следовательно, \( a < 0 \); \( \ b > 0 \); \( \ c = 0 \).

Известно, что одно из чисел \(a\), \(b\) и \(c\) положительное, второе — отрицательное, а третье равно нулю, причём \( |a| = b^2(b — c) \). Нужно установить, какое из чисел положительное, какое отрицательное и какое равно нулю.

1) Начнём с анализа левой части равенства.

Слева стоит модуль \( |a| \).

Свойство модуля: для любого числа \(a\) верно:

\( |a| \ge 0 \).

Причём \( |a| = 0 \) тогда и только тогда, когда \( a = 0 \).

2) По условию одно из чисел \(a, b, c\) равно нулю, одно положительное, одно отрицательное.

Значит \(a\), \(b\), \(c\) попарно различаются по знакам: один из них \(0\), один \(>0\), один \(<0\).

3) Рассмотрим правую часть равенства \( b^2(b — c) \).

3.1) Выражение \(b^2\) — квадрат числа \(b\).

Если \(b \ne 0\), то:

\( b^2 > 0 \).

Если \(b = 0\), то:

\( b^2 = 0 \).

3.2) Но по условию только одно из трёх чисел равно нулю.

Проверим, может ли \(b\) быть равным нулю.

4) Предположим, что \( b = 0 \).

4.1) Тогда правая часть равенства равна:

\( b^2(b — c) = 0^2(0 — c) = 0 \cdot (-c) = 0 \).

4.2) Значит, из равенства \( |a| = b^2(b — c) \) получаем:

\( |a| = 0 \).

4.3) А это возможно только при:

\( a = 0 \).

4.4) Получилось, что \(a = 0\) и \(b = 0\) одновременно.

Но по условию нулевое число только одно.

Противоречие.

4.5) Значит, \( b \ne 0 \).

5) Раз \( b \ne 0 \), то:

\( b^2 > 0 \).

6) Тогда знак правой части \( b^2(b — c) \) определяется только знаком множителя \( (b — c) \), потому что \(b^2\) всегда положительно:

\( \text{знак}(b^2(b — c)) = \text{знак}(b — c) \).

7) Левая часть \( |a| \ge 0 \), а правая часть равна ей, значит правая часть тоже неотрицательна:

\( b^2(b — c) \ge 0 \).

8) Так как \( b^2 > 0 \), то неравенство возможно только при:

\( b — c \ge 0 \).

То есть:

\( b \ge c \).

9) Теперь используем условие о знаках \(a\), \(b\), \(c\).

Одно число \(0\), одно положительное, одно отрицательное.

10) Так как \( b \ne 0 \), нулём может быть только \(a\) или \(c\).

11) Проверим возможность \( a = 0 \).

11.1) Если \( a = 0 \), то \( |a| = 0 \).

Тогда из равенства:

\( 0 = b^2(b — c) \).

11.2) Поскольку \( b^2 > 0 \), произведение равно нулю только при:

\( b — c = 0 \Rightarrow b = c \).

11.3) Но по условию среди \(b\) и \(c\) одно число положительное, другое отрицательное (потому что ноль уже занят \(a\)).

Тогда \(b\) и \(c\) не могут быть равны.

Противоречие.

11.4) Значит, \( a \ne 0 \).

12) Следовательно, нулём является \(c\):

\( c = 0 \).

13) Подставим \( c = 0 \) в равенство.

\( |a| = b^2(b — 0) = b^2 \cdot b = b^3 \).

То есть:

\( |a| = b^3 \).

14) Левая часть \( |a| \ge 0 \), значит правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\( b^3 \ge 0 \).

15) Куб сохраняет знак числа: если \(b > 0\), то \(b^3 > 0\); если \(b < 0\), то \(b^3 < 0\).

Но \(b \ne 0\), поэтому \(b^3\) не может быть равен нулю.

16) Значит, чтобы \( b^3 \ge 0 \) при \(b \ne 0\), должно быть:

\( b > 0 \).

17) Тогда \( b^3 > 0 \), и равенство \( |a| = b^3 \) показывает, что:

\( |a| > 0 \).

Значит:

\( a \ne 0 \).

Это согласуется с тем, что \(c = 0\).

18) Осталось определить знак \(a\).

Из равенства \( |a| = b^3 \) следует только то, что модуль \(a\) равен положительному числу \(b^3\).

То есть:

\( |a| = b^3 \Rightarrow a = b^3 \) или \( a = -b^3 \).

19) Но по условию среди трёх чисел одно положительное, одно отрицательное, одно ноль.

Мы уже установили:

\( c = 0 \) и \( b > 0 \).

Значит число \(a\) обязано быть отрицательным, чтобы выполнялось условие о наличии одного отрицательного числа.

Следовательно:

\( a < 0 \).

20) Итог.

\( b \) — положительное, \( a \) — отрицательное, \( c \) — равно нулю.

Ответ: \( a < 0 \), \( b > 0 \), \( c = 0 \).