ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(-x \cdot x^2 \);

2) \((-x)^2 \cdot x\);

3) \(-x \cdot (-x)^2 \);

4) \((-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x) \).

1) \(-x \cdot x^2 = -x^3\);

2) \((-x)^2 \cdot x = x^2 \cdot x = x^3\);

3) \(-x \cdot (-x)^2 = -x \cdot x^2 = -x^3\);

4) \((-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x) = (-x)^2 \cdot (-x)^2 = (-x)^4 = x^4\).

Во всех пунктах будем использовать правила:

1) \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\).

2) \((-x)^2 = x^2\), потому что квадрат отрицательного числа положителен.

3) Если перед выражением стоит знак «минус», то это означает умножение на \(-1\).

1) \(-x \cdot x^2\)

Шаг 1. Запишем \(-x\) как произведение \((-1)\cdot x\).

\(-x \cdot x^2 = \left((-1)\cdot x\right)\cdot x^2\)

Шаг 2. Переставим множители (умножение можно выполнять в любом порядке):

\(\left((-1)\cdot x\right)\cdot x^2 = (-1)\cdot \left(x \cdot x^2\right)\)

Шаг 3. В скобках стоит произведение степеней с одинаковым основанием \(x\): \(x \cdot x^2\).

Шаг 4. Представим \(x\) как \(x^1\).

\(x \cdot x^2 = x^1 \cdot x^2\)

Шаг 5. Применим правило \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\):

\(x^1 \cdot x^2 = x^{1+2}\)

Шаг 6. Сложим показатели: \(1 + 2 = 3\).

\(x^{1+2} = x^3\)

Шаг 7. Возвращаем множитель \((-1)\):

\((-1)\cdot x^3 = -x^3\)

Итог:

\(-x \cdot x^2 = -x^3\).

2) \((-x)^2 \cdot x\)

Шаг 1. Рассмотрим \((-x)^2\). При возведении в квадрат знак минус исчезает:

\((-x)^2 = x^2\)

Шаг 2. Подставим это в выражение:

\((-x)^2 \cdot x = x^2 \cdot x\)

Шаг 3. Представим \(x\) как \(x^1\):

\(x^2 \cdot x = x^2 \cdot x^1\)

Шаг 4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:

\(x^2 \cdot x^1 = x^{2+1}\)

Шаг 5. Сложим показатели: \(2 + 1 = 3\).

\(x^{2+1} = x^3\)

Итог:

\((-x)^2 \cdot x = x^3\).

3) \(-x \cdot (-x)^2\)

Шаг 1. Сначала упростим \((-x)^2\):

\((-x)^2 = x^2\)

Шаг 2. Подставим в выражение:

\(-x \cdot (-x)^2 = -x \cdot x^2\)

Шаг 3. Запишем \(-x\) как \((-1)\cdot x\):

\(-x \cdot x^2 = \left((-1)\cdot x\right)\cdot x^2\)

Шаг 4. Сгруппируем степени \(x\):

\(\left((-1)\cdot x\right)\cdot x^2 = (-1)\cdot \left(x \cdot x^2\right)\)

Шаг 5. Представим \(x\) как \(x^1\) и сложим показатели:

\(x \cdot x^2 = x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3\)

Шаг 6. Учитываем множитель \((-1)\):

\((-1)\cdot x^3 = -x^3\)

Итог:

\(-x \cdot (-x)^2 = -x^3\).

4) \((-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x)\)

Шаг 1. Обратим внимание, что все множители имеют одно и то же основание \((-x)\):

\((-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x)\)

Шаг 2. Представим одиночные множители \((-x)\) как степень с показателем \(1\):

\((-x) = (-x)^1\).

Шаг 3. Тогда выражение перепишется так:

\((-x)^1 \cdot (-x)^2 \cdot (-x)^1\)

Шаг 4. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели складываются.

\((-x)^1 \cdot (-x)^2 \cdot (-x)^1 = (-x)^{1+2+1}\)

Шаг 5. Сложим показатели: \(1 + 2 + 1 = 4\).

\((-x)^{1+2+1} = (-x)^4\)

Шаг 6. Теперь упростим \((-x)^4\). Чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат, поэтому:

\((-x)^4 = x^4\)

Итог:

\((-x) \cdot (-x)^2 \cdot (-x) = x^4\).