ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \((-a)^2 \cdot a^3\);

2) \(-a^2 \cdot a^3 \);

3) \(a^2 \cdot (-a)^3 \);

4) \(-a^2 \cdot (-a)^3 \).

1) \((-a)^2 \cdot a^3 = a^2 \cdot a^3 = a^5\);

2) \(-a^2 \cdot a^3 = -a^5\);

3) \(a^2 \cdot (-a)^3 = (-a)^2 \cdot (-a)^3 = (-a)^5 = -a^5\);

4) \(-a^2 \cdot (-a)^3 = -a^2 \cdot \left(-(a^3)\right) = a^5\).

Будем использовать правила степеней и знаков:

1) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

2) \((-a)^2 = a^2\), потому что чётная степень отрицательного числа даёт положительный результат.

3) \((-a)^3 = -(a^3)\), потому что нечётная степень отрицательного числа сохраняет знак «минус».

4) Если перед выражением стоит «минус», то это означает умножение на \(-1\): \(-a^2 = (-1)\cdot a^2\).

1) \((-a)^2 \cdot a^3\)

Шаг 1. Рассмотрим \((-a)^2\). Показатель \(2\) — чётный, значит знак «минус» исчезает:

\((-a)^2 = a^2\)

Шаг 2. Подставляем это в выражение:

\((-a)^2 \cdot a^3 = a^2 \cdot a^3\)

Шаг 3. Теперь перемножаем степени с одинаковым основанием \(a\). По правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\(a^2 \cdot a^3 = a^{2+3}\)

Шаг 4. Складываем показатели: \(2 + 3 = 5\).

\(a^{2+3} = a^5\)

Итог:

\((-a)^2 \cdot a^3 = a^5\).

2) \(-a^2 \cdot a^3\)

Шаг 1. Понимаем запись \(-a^2\): минус относится ко всему \(a^2\), то есть

\(-a^2 = (-1)\cdot a^2\).

Шаг 2. Перепишем выражение как произведение трёх множителей:

\(-a^2 \cdot a^3 = \left((-1)\cdot a^2\right)\cdot a^3\)

Шаг 3. Сгруппируем степени с основанием \(a\):

\(\left((-1)\cdot a^2\right)\cdot a^3 = (-1)\cdot \left(a^2 \cdot a^3\right)\)

Шаг 4. Применяем правило умножения степеней:

\(a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5\)

Шаг 5. Учитываем множитель \((-1)\):

\((-1)\cdot a^5 = -a^5\)

Итог:

\(-a^2 \cdot a^3 = -a^5\).

3) \(a^2 \cdot (-a)^3\)

Шаг 1. Рассмотрим \((-a)^3\). Показатель \(3\) — нечётный, значит знак «минус» сохраняется:

\((-a)^3 = -(a^3)\)

Шаг 2. Подставляем в выражение:

\(a^2 \cdot (-a)^3 = a^2 \cdot \left(-(a^3)\right)\)

Шаг 3. Вынесем знак минус как множитель \((-1)\):

\(a^2 \cdot \left(-(a^3)\right) = (-1)\cdot a^2 \cdot a^3\)

Шаг 4. Перемножаем степени \(a^2\) и \(a^3\):

\(a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5\)

Шаг 5. Учитываем множитель \((-1)\):

\((-1)\cdot a^5 = -a^5\)

Итог:

\(a^2 \cdot (-a)^3 = -a^5\).

4) \(-a^2 \cdot (-a)^3\)

Шаг 1. Перепишем \(-a^2\) как \((-1)\cdot a^2\):

\(-a^2 = (-1)\cdot a^2\)

Шаг 2. Упростим \((-a)^3\). Так как степень нечётная, получаем:

\((-a)^3 = -(a^3)\)

Шаг 3. Подставляем оба преобразования в исходное выражение:

\(-a^2 \cdot (-a)^3 = \left((-1)\cdot a^2\right)\cdot \left(-(a^3)\right)\)

Шаг 4. Теперь видим произведение двух отрицательных множителей \((-1)\) и \(-(a^3)\). Два минуса дают плюс.

Шаг 5. Перемножим знаки: \((-1)\cdot (-1) = 1\). Тогда выражение становится положительным произведением \(a^2\) и \(a^3\):

\(\left((-1)\cdot a^2\right)\cdot \left(-(a^3)\right) = a^2 \cdot a^3\)

Шаг 6. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием:

\(a^2 \cdot a^3 = a^{2+3}\)

Шаг 7. Складываем показатели: \(2 + 3 = 5\).

\(a^{2+3} = a^5\)

Итог:

\(-a^2 \cdot (-a)^3 = a^5\).