ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \((-a^5)^2 \);

2) \((-a^3)^3 \);

3) \((-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 \).

1) \((-a^5)^2 = (-a)^{10} = a^{10}\);

2) \((-a^3)^3 = (-a)^9 = -a^9\);

3) \((-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = -a^{28} \cdot a^{12} = -a^{40}\).

Будем использовать правила:

1) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

2) \((-a)^k = a^k\), если \(k\) чётное, и \((-a)^k = -a^k\), если \(k\) нечётное.

3) \(a^p \cdot a^q = a^{p+q}\).

1) \((-a^5)^2\)

Шаг 1. В выражении \((-a^5)^2\) основание степени — это \((-a^5)\), а показатель равен \(2\).

Шаг 2. Заметим, что \(-a^5 = (-1)\cdot a^5\). Тогда \((-a^5)^2\) — это квадрат отрицательного числа.

Шаг 3. Квадрат любого отрицательного числа положителен, поэтому знак минус исчезает.

Шаг 4. Применим правило степени степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

Шаг 5. Здесь \((-a^5)^2\) можно рассматривать как \(\left((-a)^5\right)^2\), поэтому показатели перемножаются: \(5 \cdot 2\).

\((-a^5)^2 = (-a)^{5 \cdot 2} = (-a)^{10}\)

Шаг 6. Показатель \(10\) чётный, значит:

\((-a)^{10} = a^{10}\)

Итог:

\((-a^5)^2 = a^{10}\).

2) \((-a^3)^3\)

Шаг 1. Основание степени — \((-a^3)\), показатель равен \(3\).

Шаг 2. Применяем правило \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): показатели перемножаются.

Шаг 3. Здесь \((-a^3)^3\) можно рассматривать как \(\left((-a)^3\right)^3\), поэтому:

\((-a^3)^3 = (-a)^{3 \cdot 3} = (-a)^9\)

Шаг 4. Показатель \(9\) нечётный, значит степень числа \((-a)\) остаётся отрицательной:

\((-a)^9 = -a^9\)

Итог:

\((-a^3)^3 = -a^9\).

3) \((-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6\)

Шаг 1. Рассмотрим первый множитель \((-a^4)^7\).

Шаг 2. Применяем правило степени степени: показатель \(4\) внутри и показатель \(7\) снаружи перемножаются:

\((-a^4)^7 = (-a)^{4 \cdot 7} = (-a)^{28}\)

Шаг 3. Показатель \(28\) чётный, поэтому \((-a)^{28} = a^{28}\).

Шаг 4. Но важно учесть исходную запись: в ней стоит \((-a^4)^7\), где основание отрицательное, а показатель \(7\) нечётный, значит результат остаётся отрицательным:

\((-a^4)^7 = -a^{28}\)

Шаг 5. Теперь рассмотрим второй множитель \((-a^2)^6\).

Шаг 6. Здесь показатель \(6\) чётный, поэтому результат будет положительным.

Шаг 7. Применяем правило степени степени: \(2 \cdot 6 = 12\).

\((-a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}\)

Шаг 8. Подставляем упрощённые множители в произведение:

\((-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = (-a^{28}) \cdot a^{12}\)

Шаг 9. Перемножаем степени с одинаковым основанием \(a\): показатели складываются.

\((-a^{28}) \cdot a^{12} = -(a^{28} \cdot a^{12}) = -a^{28+12}\)

Шаг 10. Складываем показатели: \(28 + 12 = 40\).

\(-a^{28+12} = -a^{40}\)

Итог:

\((-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = -a^{40}\).