ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\left((-a^6)^5\right)^9\);

2) \(\left((-a^{11})^2\right)^3\).

1) \(\left((-a^6)^5\right)^9 = (-a^{30})^9 = -a^{270}\);

2) \(\left((-a^{11})^2\right)^3 = (a^{22})^3 = a^{66}\).

Используем правила степеней:

1) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

2) Если степень нечётная, то знак у отрицательного основания сохраняется: \((-A)^{2k+1} = -A^{2k+1}\).

3) Если степень чётная, то знак у отрицательного основания исчезает: \((-A)^{2k} = A^{2k}\).

1) \(\left((-a^6)^5\right)^9\)

Шаг 1. Выражение имеет вид «степень степени»: \(\left(\,\cdot\,\right)^9\), где внутри стоит \((-a^6)^5\).

Шаг 2. Сначала упростим внутреннюю степень \((-a^6)^5\).

Шаг 3. Основание \((-a^6)\) отрицательное, а показатель \(5\) нечётный, значит результат будет отрицательным.

Шаг 4. Применяем правило \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) к части \(a^6\): показатель \(6\) умножается на \(5\).

\((-a^6)^5 = -a^{6 \cdot 5}\)

Шаг 5. Перемножаем показатели: \(6 \cdot 5 = 30\).

\(-a^{6 \cdot 5} = -a^{30}\)

Шаг 6. Подставляем это обратно в исходное выражение:

\(\left((-a^6)^5\right)^9 = \left(-a^{30}\right)^9\)

Шаг 7. Теперь снова степень: основание \((-a^{30})\) отрицательное, показатель \(9\) нечётный, значит результат будет отрицательным.

Шаг 8. Применяем правило степени степени к \(a^{30}\): показатель \(30\) умножается на \(9\).

\(\left(-a^{30}\right)^9 = -a^{30 \cdot 9}\)

Шаг 9. Перемножаем показатели: \(30 \cdot 9 = 270\).

\(-a^{30 \cdot 9} = -a^{270}\)

Итог:

\(\left((-a^6)^5\right)^9 = -a^{270}\).

2) \(\left((-a^{11})^2\right)^3\)

Шаг 1. Выражение также имеет вид «степень степени»: \(\left(\,\cdot\,\right)^3\), где внутри стоит \((-a^{11})^2\).

Шаг 2. Сначала упростим внутреннюю часть \((-a^{11})^2\).

Шаг 3. Основание \((-a^{11})\) отрицательное, но показатель \(2\) чётный, значит результат будет положительным:

\((-a^{11})^2 = a^{22}\)

Шаг 4. Почему показатель становится \(22\): применяем правило степени степени к \(a^{11}\): \(11 \cdot 2 = 22\).

Шаг 5. Теперь подставляем это в исходное выражение:

\(\left((-a^{11})^2\right)^3 = (a^{22})^3\)

Шаг 6. Применяем правило \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): показатели \(22\) и \(3\) перемножаются.

\((a^{22})^3 = a^{22 \cdot 3}\)

Шаг 7. Перемножаем показатели: \(22 \cdot 3 = 66\).

\(a^{22 \cdot 3} = a^{66}\)

Итог:

\(\left((-a^{11})^2\right)^3 = a^{66}\).