ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) \(2^3 \cdot 2^4 \);

2) \((3^2)^3 \);

3) \(0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 \);

4) \(0,5^{12} \cdot 2^{12} \);

5) \(2^{12} : 2^8 \);

6) \((3^4)^5 : 3^{19} \);

7) \(\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 \);

8) \(2,5^5 \cdot 40^5 \).

1) \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\);

2) \((3^2)^3 = 3^6 = 729\);

3) \(0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^6 = 0,000064\);

4) \(0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12} = 1\);

5) \(2^{12} : 2^8 = 2^4 = 16\);

6) \((3^4)^5 : 3^{19} = 3^{20} : 3^{19} = 3^1 = 3\);

7) \(\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = \frac{1^9}{3^9} \cdot 9^9 = \frac{1 \cdot 9^9}{3^9} = \left(\frac{9}{3}\right)^9 = 3^9 = 19\,683\);

8) \(2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5 = (100)^5 = 10\,000\,000\,000\).

В решениях используем правила степеней:

1) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

2) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

3) \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

4) \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\).

5) \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) при \(b \ne 0\).

1) \(2^3 \cdot 2^4\)

Шаг 1. Основание одинаковое (\(2\)), значит складываем показатели:

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}\)

Шаг 2. Складываем показатели: \(3 + 4 = 7\).

\(2^{3+4} = 2^7\)

Шаг 3. Вычисляем \(2^7\):

\(2^7 = 128\).

Итог:

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\).

2) \((3^2)^3\)

Шаг 1. Это степень степени, значит перемножаем показатели:

\((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3}\)

Шаг 2. Перемножаем показатели: \(2 \cdot 3 = 6\).

\(3^{2 \cdot 3} = 3^6\)

Шаг 3. Вычисляем \(3^6\):

\(3^6 = 729\).

Итог:

\((3^2)^3 = 3^6 = 729\).

3) \(0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3\)

Шаг 1. Приведём первый множитель \(0,2\) к виду степени: \(0,2 = 0,2^1\).

Шаг 2. Теперь имеем произведение степеней с одинаковым основанием \(0,2\):

\(0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^1 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3\)

Шаг 3. Складываем показатели: \(1 + 2 + 3\).

\(0,2^1 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^{1+2+3}\)

Шаг 4. Считаем сумму: \(1 + 2 + 3 = 6\).

\(0,2^{1+2+3} = 0,2^6\)

Шаг 5. Вычислим \(0,2^6\). Удобно заметить, что \(0,2 = \frac{1}{5}\).

Шаг 6. Тогда:

\(0,2^6 = \left(\frac{1}{5}\right)^6 = \frac{1^6}{5^6} = \frac{1}{15625}\).

Шаг 7. Переведём \(\frac{1}{15625}\) в десятичную дробь:

\(\frac{1}{15625} = 0,000064\).

Итог:

\(0,2 \cdot 0,2^2 \cdot 0,2^3 = 0,2^6 = 0,000064\).

4) \(0,5^{12} \cdot 2^{12}\)

Шаг 1. Здесь показатели одинаковые (\(12\)), значит используем правило \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\).

Шаг 2. Объединяем в одну степень:

\(0,5^{12} \cdot 2^{12} = (0,5 \cdot 2)^{12}\)

Шаг 3. Перемножаем основания: \(0,5 \cdot 2 = 1\).

\((0,5 \cdot 2)^{12} = 1^{12}\)

Шаг 4. Любая степень числа \(1\) равна \(1\):

\(1^{12} = 1\)

Итог:

\(0,5^{12} \cdot 2^{12} = 1\).

5) \(2^{12} : 2^8\)

Шаг 1. Основание одинаковое (\(2\)), при делении степеней вычитаем показатели:

\(2^{12} : 2^8 = 2^{12-8}\)

Шаг 2. Вычитаем показатели: \(12 — 8 = 4\).

\(2^{12-8} = 2^4\)

Шаг 3. Вычисляем \(2^4\):

\(2^4 = 16\).

Итог:

\(2^{12} : 2^8 = 2^4 = 16\).

6) \((3^4)^5 : 3^{19}\)

Шаг 1. Сначала упростим \((3^4)^5\) по правилу степени степени:

\((3^4)^5 = 3^{4 \cdot 5}\)

Шаг 2. Перемножаем показатели: \(4 \cdot 5 = 20\).

\(3^{4 \cdot 5} = 3^{20}\)

Шаг 3. Теперь делим степени с одинаковым основанием \(3\):

\(3^{20} : 3^{19} = 3^{20-19}\)

Шаг 4. Вычитаем показатели: \(20 — 19 = 1\).

\(3^{20-19} = 3^1\)

Шаг 5. \(3^1 = 3\).

Итог:

\((3^4)^5 : 3^{19} = 3\).

7) \(\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9\)

Шаг 1. Показатели одинаковые (\(9\)), значит можно объединить множители в одну степень:

\(\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = \left(\frac{1}{3} \cdot 9\right)^9\)

Шаг 2. Перемножаем числа внутри скобок:

\(\frac{1}{3} \cdot 9 = \frac{9}{3}\)

Шаг 3. Упрощаем дробь: \(\frac{9}{3} = 3\).

\(\left(\frac{9}{3}\right)^9 = 3^9\)

Шаг 4. Вычисляем \(3^9\). Можно считать по таблице степеней 3 или последовательно:

\(3^9 = 3^6 \cdot 3^3\).

Шаг 5. Из известных значений: \(3^6 = 729\), \(3^3 = 27\).

Шаг 6. Перемножаем: \(729 \cdot 27\).

Шаг 7. \(729 \cdot 27 = 729 \cdot (20 + 7) = 729 \cdot 20 + 729 \cdot 7 = 14580 + 5103 = 19683\).

Итог:

\(\left(\frac{1}{3}\right)^9 \cdot 9^9 = 3^9 = 19\,683\).

8) \(2,5^5 \cdot 40^5\)

Шаг 1. Показатели одинаковые (\(5\)), применяем правило \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\):

\(2,5^5 \cdot 40^5 = (2,5 \cdot 40)^5\)

Шаг 2. Перемножаем числа: \(2,5 \cdot 40\).

Шаг 3. \(2,5 \cdot 40 = 2,5 \cdot (4 \cdot 10) = (2,5 \cdot 4)\cdot 10 = 10 \cdot 10 = 100\).

Шаг 4. Получаем:

\((2,5 \cdot 40)^5 = (100)^5\)

Шаг 5. Представим \(100\) как \(10^2\): \(100 = 10^2\).

Шаг 6. Тогда \((100)^5 = (10^2)^5\).

Шаг 7. Применяем правило степени степени:

\((10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}\)

Шаг 8. \(10^{10} = 10\,000\,000\,000\).

Итог:

\(2,5^5 \cdot 40^5 = 10\,000\,000\,000\).