ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение (при необходимости воспользуйтесь таблицей степеней чисел 2 и 3):

1) \(2^2 \cdot 2^3 \);

2) \((2^2)^3 \);

3) \(3^2 \cdot 3 \cdot 3^3 \);

4) \(0,3^8 : 0,3^5 \);

5) \(7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9 \);

6) \(12,5^3 \cdot 8^3 \).

1) \(2^2 \cdot 2^3 = 2^5 = 32\);

2) \((2^2)^3 = 2^6 = 64\);

3) \(3^2 \cdot 3 \cdot 3^3 = 3^6 = 729\);

4) \(0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^3 = 0,027\);

5) \(7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9 = 7^9 \cdot \frac{1^9}{14^9} = \frac{7^9 \cdot 1}{14^9} = \left(\frac{7}{14}\right)^9 = \left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{1^9}{2^9} = \frac{1}{512}\);

6) \(12,5^3 \cdot 8^3 = (12,5 \cdot 8)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).

Используем правила степеней:

1) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

2) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

3) \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \ne 0\).

4) \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\).

5) \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) при \(b \ne 0\).

1) \(2^2 \cdot 2^3\)

Шаг 1. Основание одинаковое (\(2\)), значит при умножении степеней складываем показатели:

\(2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3}\)

Шаг 2. Складываем показатели: \(2 + 3 = 5\).

\(2^{2+3} = 2^5\)

Шаг 3. Вычисляем \(2^5\):

\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\).

Итог:

\(2^2 \cdot 2^3 = 2^5 = 32\).

2) \((2^2)^3\)

Шаг 1. Это степень степени, значит перемножаем показатели:

\((2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3}\)

Шаг 2. Перемножаем показатели: \(2 \cdot 3 = 6\).

\(2^{2 \cdot 3} = 2^6\)

Шаг 3. Вычисляем \(2^6\):

\(2^6 = 64\).

Итог:

\((2^2)^3 = 2^6 = 64\).

3) \(3^2 \cdot 3 \cdot 3^3\)

Шаг 1. Все множители имеют одинаковое основание \(3\).

Шаг 2. Представим множитель \(3\) как степень: \(3 = 3^1\).

Шаг 3. Тогда выражение перепишется так:

\(3^2 \cdot 3 \cdot 3^3 = 3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3\)

Шаг 4. При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели:

\(3^2 \cdot 3^1 \cdot 3^3 = 3^{2+1+3}\)

Шаг 5. Складываем показатели: \(2 + 1 + 3 = 6\).

\(3^{2+1+3} = 3^6\)

Шаг 6. Вычисляем \(3^6\) (по таблице степеней 3 или последовательно):

\(3^6 = 729\).

Итог:

\(3^2 \cdot 3 \cdot 3^3 = 3^6 = 729\).

4) \(0,3^8 : 0,3^5\)

Шаг 1. Основание одинаковое (\(0,3\)), при делении степеней вычитаем показатели:

\(0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^{8-5}\)

Шаг 2. Вычитаем показатели: \(8 — 5 = 3\).

\(0,3^{8-5} = 0,3^3\)

Шаг 3. Вычисляем \(0,3^3\):

\(0,3^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3\).

Шаг 4. Сначала \(0,3 \cdot 0,3 = 0,09\).

Шаг 5. Затем \(0,09 \cdot 0,3 = 0,027\).

Итог:

\(0,3^8 : 0,3^5 = 0,3^3 = 0,027\).

5) \(7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9\)

Шаг 1. Показатели одинаковые (\(9\)), значит применяем правило \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\):

\(7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9 = \left(7 \cdot \frac{1}{14}\right)^9\)

Шаг 2. Перемножаем числа в скобках:

\(7 \cdot \frac{1}{14} = \frac{7}{14}\)

Шаг 3. Сокращаем дробь \(\frac{7}{14}\): делим числитель и знаменатель на \(7\):

\(\frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)

Шаг 4. Тогда:

\(\left(7 \cdot \frac{1}{14}\right)^9 = \left(\frac{1}{2}\right)^9\)

Шаг 5. Используем правило степени дроби:

\(\left(\frac{1}{2}\right)^9 = \frac{1^9}{2^9}\)

Шаг 6. \(1^9 = 1\), а \(2^9 = 512\).

Шаг 7. Получаем:

\(\frac{1^9}{2^9} = \frac{1}{512}\)

Итог:

\(7^9 \cdot \left(\frac{1}{14}\right)^9 = \frac{1}{512}\).

6) \(12,5^3 \cdot 8^3\)

Шаг 1. Показатели одинаковые (\(3\)), применяем правило \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\):

\(12,5^3 \cdot 8^3 = (12,5 \cdot 8)^3\)

Шаг 2. Вычисляем произведение в скобках: \(12,5 \cdot 8\).

Шаг 3. Удобно заметить, что \(12,5 = \frac{25}{2}\). Тогда:

\(12,5 \cdot 8 = \frac{25}{2} \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100\).

Шаг 4. Получаем:

\((12,5 \cdot 8)^3 = 100^3\)

Шаг 5. Вычисляем \(100^3\):

\(100^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\,000\,000\).

Итог:

\(12,5^3 \cdot 8^3 = 100^3 = 1\,000\,000\).