ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите в данных примерах ошибки:

1) \(a^4 a^3 = a^{12}\)

2) \(a \cdot a = 2a\)

3) \((a^3)^2 = a^9\)

4) \(3^2 \cdot 5^2 = 15^4\)

5) \(2^2 \cdot 7^3 = 14^5\)

6) \((2a)^4 = 8a^4\)

7) \(3 \cdot 4^3 = 12^3\)

8) \(a^7 b^7 = (ab)^{14}\)

9) \(a^3 b^2 = (ab)^6\)

1) \(a^4 a^3 = a^{12}\) ⇒ \(a^4 a^3 = a^7\).

2) \(a \cdot a = 2a\) ⇒ \(a \cdot a = a^2\).

3) \((a^3)^2 = a^9\) ⇒ \((a^3)^2 = a^6\).

4) \(3^2 \cdot 5^2 = 15^4\) ⇒ \(3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2\).

5) \(2^2 \cdot 7^3 = 14^5\) ⇒ \(2^2 \cdot 7^3 = 2^2 \cdot 7^2 \cdot 7 = (2 \cdot 7)^2 \cdot 7 = 14^2 \cdot 7\).

6) \((2a)^4 = 8a^4\) ⇒ \((2a)^4 = 2^4 a^4 = 16a^4\).

7) \(3 \cdot 4^3 = 12^3\) ⇒ \(3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 4 \cdot 4^2 = 12 \cdot 4^2\).

8) \(a^7 b^7 = (ab)^{14}\) ⇒ \(a^7 b^7 = (ab)^7\).

9) \(a^3 b^2 = (ab)^6\) ⇒ \(a^3 b^2 = aa^2 b^2 = a \cdot (ab)^2\).

Для проверки используем основные свойства степеней:

1) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

2) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

3) \(a^n b^n = (ab)^n\).

4) \((ab)^n = a^n b^n\).

1) \(a^4 a^3 = a^{12}\)

Шаг 1. Здесь перемножаются степени с одинаковым основанием \(a\): \(a^4\) и \(a^3\).

Шаг 2. По правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) нужно сложить показатели: \(4 + 3\).

\(a^4 a^3 = a^{4+3}\)

Шаг 3. \(4 + 3 = 7\).

\(a^{4+3} = a^7\)

Ошибка: вместо сложения показателей было записано \(a^{12}\).

Правильно:

\(a^4 a^3 = a^7\).

2) \(a \cdot a = 2a\)

Шаг 1. \(a \cdot a\) — это произведение двух одинаковых множителей \(a\).

Шаг 2. Произведение одинаковых множителей записывается как степень: \(a \cdot a = a^2\).

\(a \cdot a = a^2\)

Ошибка: запись \(2a\) соответствует сумме \(a + a\), а не произведению \(a \cdot a\).

Правильно:

\(a \cdot a = a^2\).

3) \((a^3)^2 = a^9\)

Шаг 1. Это выражение вида \((a^m)^n\).

Шаг 2. По правилу \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) показатели перемножаются: \(3 \cdot 2\).

\((a^3)^2 = a^{3 \cdot 2}\)

Шаг 3. \(3 \cdot 2 = 6\).

\(a^{3 \cdot 2} = a^6\)

Ошибка: вместо умножения показателей на \(2\) (то есть \(3 \cdot 2\)) записали \(9\).

Правильно:

\((a^3)^2 = a^6\).

4) \(3^2 \cdot 5^2 = 15^4\)

Шаг 1. Здесь перемножаются степени с одинаковым показателем \(2\): \(3^2\) и \(5^2\).

Шаг 2. По правилу \(a^n b^n = (ab)^n\):

\(3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2\)

Шаг 3. \(3 \cdot 5 = 15\), значит:

\((3 \cdot 5)^2 = 15^2\)

Ошибка: показатель степени ошибочно увеличили до \(4\).

Правильно:

\(3^2 \cdot 5^2 = 15^2\).

5) \(2^2 \cdot 7^3 = 14^5\)

Шаг 1. Нельзя сразу объединить \(2^2\) и \(7^3\) в \((2 \cdot 7)^{2+3}\), потому что правило \((ab)^n = a^n b^n\) требует одинаковых показателей у множителей.

Шаг 2. Разложим \(7^3\) как \(7^2 \cdot 7\):

\(2^2 \cdot 7^3 = 2^2 \cdot 7^2 \cdot 7\)

Шаг 3. Теперь у \(2^2\) и \(7^2\) одинаковый показатель \(2\), применяем правило \(a^n b^n = (ab)^n\):

\(2^2 \cdot 7^2 = (2 \cdot 7)^2 = 14^2\)

Шаг 4. Подставляем обратно:

\(2^2 \cdot 7^3 = 14^2 \cdot 7\)

Ошибка: запись \(14^5\) неверна, так как показатели \(2\) и \(3\) у множителей были разными.

Правильно:

\(2^2 \cdot 7^3 = 14^2 \cdot 7\).

6) \((2a)^4 = 8a^4\)

Шаг 1. Используем правило \((ab)^n = a^n b^n\):

\((2a)^4 = 2^4 \cdot a^4\)

Шаг 2. Вычисляем \(2^4\):

\(2^4 = 16\)

Шаг 3. Тогда:

\((2a)^4 = 16a^4\)

Ошибка: \(8a^4\) получилось бы при \(2^3 a^4\), но здесь степень \(4\), а значит коэффициент должен быть \(16\).

Правильно:

\((2a)^4 = 16a^4\).

7) \(3 \cdot 4^3 = 12^3\)

Шаг 1. Запишем \(3\) как \(3^1\):

\(3 \cdot 4^3 = 3^1 \cdot 4^3\)

Шаг 2. Правило \(a^n b^n = (ab)^n\) можно применить только при одинаковых показателях, а здесь показатели \(1\) и \(3\) разные.

Шаг 3. Поэтому объединить в \((3 \cdot 4)^3\) нельзя.

Шаг 4. Можно лишь выделить один множитель \(4\) из \(4^3\): \(4^3 = 4 \cdot 4^2\).

\(3 \cdot 4^3 = 3 \cdot 4 \cdot 4^2\)

Шаг 5. \(3 \cdot 4 = 12\), значит:

\(3 \cdot 4 \cdot 4^2 = 12 \cdot 4^2\)

Ошибка: запись \(12^3\) неверна.

Правильно:

\(3 \cdot 4^3 = 12 \cdot 4^2\).

8) \(a^7 b^7 = (ab)^{14}\)

Шаг 1. Здесь степени имеют одинаковый показатель \(7\).

Шаг 2. По правилу \(a^n b^n = (ab)^n\):

\(a^7 b^7 = (ab)^7\)

Ошибка: показатель ошибочно записали как \(14\), хотя он не складывается, а остаётся тем же \(7\).

Правильно:

\(a^7 b^7 = (ab)^7\).

9) \(a^3 b^2 = (ab)^6\)

Шаг 1. В правой части \((ab)^6 = a^6 b^6\), то есть там степени \(a\) и \(b\) обе имеют показатель \(6\).

Шаг 2. В левой части показатели разные: у \(a\) стоит \(3\), у \(b\) стоит \(2\).

Шаг 3. Поэтому равенство \(a^3 b^2 = (ab)^6\) неверно.

Шаг 4. Можно выделить общий множитель \((ab)^2\), потому что \(a^3 b^2 = a \cdot a^2 b^2\).

\(a^3 b^2 = a \cdot a^2 b^2\)

Шаг 5. Так как \(a^2 b^2 = (ab)^2\), получаем:

\(a \cdot a^2 b^2 = a \cdot (ab)^2\)

Ошибка: запись \((ab)^6\) неверна.

Правильно:

\(a^3 b^2 = a \cdot (ab)^2\).