ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вместо звездочки запишите такое выражение, чтобы выполнялось равенство:

1) \((*)^4 = c^{20}\)

2) \((*)^2 = c^{14}\)

3) \((*)^n = c^{8n}\)

4) \((*)^7 = c^{7n}\), где \(n\) — натуральное число

1) \((*)^4 = c^{20}\)

\(* = c^{20:4}\)

\(* = c^5\).

2) \((*)^2 = c^{14}\)

\(* = c^{14:2}\)

\(* = c^7\).

3) \((*)^n = c^{8n}\)

\(* = c^{8n:n}\)

\(* = c^8\).

4) \((*)^7 = c^{7n}\), где \(n\) — натуральное число

\(* = c^{7n:7}\)

\(* = c^n\).

Во всех пунктах используем правило степени степени:

\((c^k)^m = c^{k \cdot m}\).

Если известно, что \((*)^m = c^p\), то удобно искать \(*\) в виде \(c^k\), тогда должно выполняться \(k \cdot m = p\), откуда \(k = \frac{p}{m}\).

1) \((*)^4 = c^{20}\)

Шаг 1. Предположим, что \(*\) можно представить как степень числа \(c\): \(* = c^k\).

Шаг 2. Тогда левая часть станет:

\((*)^4 = (c^k)^4\)

Шаг 3. По правилу степени степени:

\((c^k)^4 = c^{k \cdot 4}\)

Шаг 4. По условию это должно быть равно \(c^{20}\):

\(c^{k \cdot 4} = c^{20}\)

Шаг 5. Так как основания одинаковые (\(c\)), то равны показатели:

\(k \cdot 4 = 20\)

Шаг 6. Находим \(k\):

\(k = \frac{20}{4} = 5\)

Шаг 7. Подставляем найденный показатель:

\(* = c^5\)

Проверка:

\((c^5)^4 = c^{5 \cdot 4} = c^{20}\).

2) \((*)^2 = c^{14}\)

Шаг 1. Пусть \(* = c^k\).

Шаг 2. Тогда:

\((*)^2 = (c^k)^2\)

Шаг 3. Применяем правило \((c^k)^2 = c^{k \cdot 2}\):

\((c^k)^2 = c^{2k}\)

Шаг 4. По условию:

\(c^{2k} = c^{14}\)

Шаг 5. При одинаковом основании равны показатели:

\(2k = 14\)

Шаг 6. Находим \(k\):

\(k = \frac{14}{2} = 7\)

Шаг 7. Записываем выражение вместо звездочки:

\(* = c^7\)

Проверка:

\((c^7)^2 = c^{7 \cdot 2} = c^{14}\).

3) \((*)^n = c^{8n}\)

Шаг 1. Пусть \(* = c^k\), где \(k\) не зависит от \(n\).

Шаг 2. Тогда:

\((*)^n = (c^k)^n\)

Шаг 3. По правилу степени степени:

\((c^k)^n = c^{k \cdot n}\)

Шаг 4. По условию это равно \(c^{8n}\):

\(c^{k \cdot n} = c^{8n}\)

Шаг 5. При одинаковом основании показатели должны совпадать:

\(k \cdot n = 8n\)

Шаг 6. Так как \(n\) — показатель степени и предполагается натуральным, \(n \ne 0\), можно разделить обе части на \(n\):

\(k = \frac{8n}{n} = 8\)

Шаг 7. Значит:

\(* = c^8\)

Проверка:

\((c^8)^n = c^{8 \cdot n} = c^{8n}\).

4) \((*)^7 = c^{7n}\), где \(n\) — натуральное число

Шаг 1. Ищем \(*\) в виде степени числа \(c\): \(* = c^k\).

Шаг 2. Тогда левая часть:

\((*)^7 = (c^k)^7\)

Шаг 3. По правилу степени степени:

\((c^k)^7 = c^{k \cdot 7}\)

Шаг 4. По условию:

\(c^{k \cdot 7} = c^{7n}\)

Шаг 5. При одинаковом основании равны показатели:

\(7k = 7n\)

Шаг 6. Делим обе части на \(7\):

\(k = n\)

Шаг 7. Тогда выражение вместо звездочки:

\(* = c^n\)

Проверка:

\((c^n)^7 = c^{n \cdot 7} = c^{7n}\).