ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени выражение:

1) \(a^n a^5 \);

2) \(a a^n \);

3) \(a^3 a^n \);

4) \((a^3)^n \);

5) \((a^n)^2 \cdot (a^5)^n\), где n — натуральное число

1) \(a^n a^5 = a^{n+5}\);

2) \(a a^n = a^{1+n}\);

3) \(a^3 a^n = a^{3+n}\);

4) \((a^3)^n = a^{3n}\);

5) \((a^n)^2 \cdot (a^5)^n = a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{2n+5n} = a^{7n}\).

Во всех пунктах используем правила степеней:

1) \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

2) \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

1) \(a^n a^5\)

Шаг 1. Видим произведение степеней с одинаковым основанием \(a\): \(a^n\) и \(a^5\).

Шаг 2. По правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) нужно сложить показатели.

Шаг 3. Здесь показатели равны \(n\) и \(5\), значит:

\(a^n a^5 = a^{n+5}\)

Итог:

\(a^n a^5 = a^{n+5}\).

2) \(a a^n\)

Шаг 1. Первый множитель \(a\) представим как степень с показателем \(1\): \(a = a^1\).

Шаг 2. Тогда выражение принимает вид произведения степеней с одинаковым основанием:

\(a a^n = a^1 \cdot a^n\)

Шаг 3. Складываем показатели по правилу \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\(a^1 \cdot a^n = a^{1+n}\)

Итог:

\(a a^n = a^{1+n}\).

3) \(a^3 a^n\)

Шаг 1. Основание одинаковое (\(a\)), значит применяем правило умножения степеней.

Шаг 2. Складываем показатели \(3\) и \(n\):

\(a^3 a^n = a^{3+n}\)

Итог:

\(a^3 a^n = a^{3+n}\).

4) \((a^3)^n\)

Шаг 1. Это выражение вида «степень степени».

Шаг 2. Применяем правило \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).

Шаг 3. Здесь \(m = 3\), значит:

\((a^3)^n = a^{3 \cdot n}\)

Шаг 4. Записываем произведение показателей слитно:

\(a^{3 \cdot n} = a^{3n}\)

Итог:

\((a^3)^n = a^{3n}\).

5) \((a^n)^2 \cdot (a^5)^n\)

Шаг 1. В выражении есть две части, каждая — степень степени.

Шаг 2. Сначала упростим \((a^n)^2\) по правилу \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\((a^n)^2 = a^{n \cdot 2}\)

Шаг 3. Перемножаем: \(n \cdot 2 = 2n\), значит:

\((a^n)^2 = a^{2n}\)

Шаг 4. Теперь упростим \((a^5)^n\) по тому же правилу:

\((a^5)^n = a^{5 \cdot n}\)

Шаг 5. Записываем произведение \(5 \cdot n\) как \(5n\):

\((a^5)^n = a^{5n}\)

Шаг 6. Подставляем полученные результаты в исходное выражение:

\((a^n)^2 \cdot (a^5)^n = a^{2n} \cdot a^{5n}\)

Шаг 7. Теперь перемножаем степени с одинаковым основанием \(a\): показатели складываются.

\(a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{2n+5n}\)

Шаг 8. Складываем однотипные слагаемые: \(2n + 5n = 7n\).

\(a^{2n+5n} = a^{7n}\)

Итог:

\((a^n)^2 \cdot (a^5)^n = a^{7n}\).