ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени выражение:

1) \(3^5 + 3^5 + 3^5\);

2) \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k\), где k — натуральное число.

1) \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5 = 3^6\);

2) \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k = 4 \cdot 4^k = 4^{1+k}\).

1) \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5 = 3^6\).

Шаг 1. Рассмотрим выражение \(3^5 + 3^5 + 3^5\).

Шаг 2. Здесь три одинаковых слагаемых, каждое равно \(3^5\).

Шаг 3. Используем правило: если \(x\) складывается само с собой \(n\) раз, то \(x+x+\dots+x = n \cdot x\).

Шаг 4. В нашем случае \(x = 3^5\), а число повторений равно \(3\).

Шаг 5. Поэтому \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5\).

Шаг 6. Теперь упростим произведение \(3 \cdot 3^5\).

Шаг 7. Представим число \(3\) в виде степени с тем же основанием: \(3 = 3^1\).

Шаг 8. Тогда \(3 \cdot 3^5 = 3^1 \cdot 3^5\).

Шаг 9. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

Шаг 10. Получаем \(3^1 \cdot 3^5 = 3^{1+5}\).

Шаг 11. Складываем показатели: \(1+5=6\).

Шаг 12. Следовательно, \(3^{1+5} = 3^6\), значит \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^6\).

2) \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k = 4 \cdot 4^k = 4^{1+k}\).

Шаг 1. Рассмотрим выражение \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k\).

Шаг 2. Здесь четыре одинаковых слагаемых, каждое равно \(4^k\).

Шаг 3. Используем правило: \(x+x+x+x = 4x\).

Шаг 4. В нашем случае \(x = 4^k\), значит \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k = 4 \cdot 4^k\).

Шаг 5. Теперь представим множитель \(4\) как степень с основанием \(4\): \(4 = 4^1\).

Шаг 6. Тогда \(4 \cdot 4^k = 4^1 \cdot 4^k\).

Шаг 7. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

Шаг 8. Получаем \(4^1 \cdot 4^k = 4^{1+k}\).

Шаг 9. Это и есть представление исходного выражения в виде одной степени: \(4^{1+k}\).

Шаг 10. Итог: \(4^k + 4^k + 4^k + 4^k = 4 \cdot 4^k = 4^{1+k}\).