ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Запишите в виде степени с показателем 2 выражение:

1) \(a^2 b^6 \);

2) \(x^8 y^{14} \);

3) \(x^4 y^{10} z^{18} \);

4) \(4m^{12} n^{16} \);

5) \(81c^{10} d^{32} p^{44} \).

1) \(a^2 b^6 = (ab^3)^2\);

2) \(x^8 y^{14} = (x^4 y^7)^2\);

3) \(x^4 y^{10} z^{18} = (x^2 y^5 z^9)^2\);

4) \(4m^{12} n^{16} = (2m^6 n^8)^2\);

5) \(81c^{10} d^{32} p^{44} = (9c^5 d^{16} p^{22})^2\).

Запишите в виде степени с показателем \(2\) выражение.

1) \(a^2 b^6 = (ab^3)^2\).

Шаг 1. Нужно представить произведение \(a^2 b^6\) в виде квадрата, то есть в форме \((\dots)^2\).

Шаг 2. Вспомним правило: \((uv)^2 = u^2 v^2\).

Шаг 3. Это означает, что чтобы получить \((\dots)^2\), надо представить множители как квадраты некоторых выражений.

Шаг 4. Видим, что \(a^2\) уже является квадратом числа \(a\), потому что \(a^2 = (a)^2\).

Шаг 5. Рассмотрим \(b^6\). Чтобы это было квадратом, показатель степени должен быть чётным.

Шаг 6. \(6\) — чётное число, значит \(b^6 = b^{2 \cdot 3}\).

Шаг 7. По правилу степеней \(\left(b^3\right)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6\).

Шаг 8. Значит, \(b^6\) можно записать как \((b^3)^2\).

Шаг 9. Тогда \(a^2 b^6 = (a)^2 \cdot (b^3)^2\).

Шаг 10. Используем правило: \(u^2 \cdot v^2 = (uv)^2\).

Шаг 11. Получаем \((a)^2 \cdot (b^3)^2 = (ab^3)^2\).

Шаг 12. Итог: \(a^2 b^6 = (ab^3)^2\).

2) \(x^8 y^{14} = (x^4 y^7)^2\).

Шаг 1. Требуется записать \(x^8 y^{14}\) в виде \((\dots)^2\).

Шаг 2. Разложим степени так, чтобы в показателях появилась двойка.

Шаг 3. \(8 = 2 \cdot 4\), значит \(x^8 = x^{2 \cdot 4}\).

Шаг 4. По правилу \(\left(x^4\right)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8\).

Шаг 5. Следовательно, \(x^8 = (x^4)^2\).

Шаг 6. \(14 = 2 \cdot 7\), значит \(y^{14} = y^{2 \cdot 7}\).

Шаг 7. По правилу \(\left(y^7\right)^2 = y^{7 \cdot 2} = y^{14}\).

Шаг 8. Следовательно, \(y^{14} = (y^7)^2\).

Шаг 9. Тогда \(x^8 y^{14} = (x^4)^2 \cdot (y^7)^2\).

Шаг 10. Применяем правило: \(u^2 \cdot v^2 = (uv)^2\).

Шаг 11. Получаем \((x^4)^2 \cdot (y^7)^2 = (x^4 y^7)^2\).

Шаг 12. Итог: \(x^8 y^{14} = (x^4 y^7)^2\).

3) \(x^4 y^{10} z^{18} = (x^2 y^5 z^9)^2\).

Шаг 1. Нужно представить \(x^4 y^{10} z^{18}\) как квадрат некоторого выражения.

Шаг 2. Рассмотрим каждую степень отдельно и выделим множитель \(2\) в показателе.

Шаг 3. \(4 = 2 \cdot 2\), значит \(x^4 = x^{2 \cdot 2} = (x^2)^2\), так как \((x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4\).

Шаг 4. \(10 = 2 \cdot 5\), значит \(y^{10} = y^{2 \cdot 5} = (y^5)^2\), так как \((y^5)^2 = y^{5 \cdot 2} = y^{10}\).

Шаг 5. \(18 = 2 \cdot 9\), значит \(z^{18} = z^{2 \cdot 9} = (z^9)^2\), так как \((z^9)^2 = z^{9 \cdot 2} = z^{18}\).

Шаг 6. Тогда исходное произведение можно переписать так:

\(x^4 y^{10} z^{18} = (x^2)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot (z^9)^2\).

Шаг 7. Сгруппируем квадраты по правилу: \(u^2 v^2 w^2 = (uvw)^2\).

Шаг 8. Получаем \((x^2)^2 \cdot (y^5)^2 \cdot (z^9)^2 = (x^2 y^5 z^9)^2\).

Шаг 9. Итог: \(x^4 y^{10} z^{18} = (x^2 y^5 z^9)^2\).

4) \(4m^{12} n^{16} = (2m^6 n^8)^2\).

Шаг 1. Нужно представить \(4m^{12} n^{16}\) в виде \((\dots)^2\).

Шаг 2. Начнём с числа \(4\). Это квадрат числа \(2\), так как \(4 = 2^2\).

Шаг 3. Рассмотрим \(m^{12}\). Так как \(12 = 2 \cdot 6\), имеем \(m^{12} = (m^6)^2\).

Шаг 4. Действительно, \((m^6)^2 = m^{6 \cdot 2} = m^{12}\).

Шаг 5. Рассмотрим \(n^{16}\). Так как \(16 = 2 \cdot 8\), имеем \(n^{16} = (n^8)^2\).

Шаг 6. Действительно, \((n^8)^2 = n^{8 \cdot 2} = n^{16}\).

Шаг 7. Тогда всё выражение переписывается как произведение квадратов:

\(4m^{12} n^{16} = 2^2 \cdot (m^6)^2 \cdot (n^8)^2\).

Шаг 8. Используем правило объединения квадратов: \(u^2 v^2 w^2 = (uvw)^2\).

Шаг 9. Получаем \(2^2 \cdot (m^6)^2 \cdot (n^8)^2 = (2m^6 n^8)^2\).

Шаг 10. Итог: \(4m^{12} n^{16} = (2m^6 n^8)^2\).

5) \(81c^{10} d^{32} p^{44} = (9c^5 d^{16} p^{22})^2\).

Шаг 1. Нужно представить \(81c^{10} d^{32} p^{44}\) как квадрат.

Шаг 2. Рассмотрим число \(81\). Это квадрат числа \(9\), потому что \(81 = 9^2\).

Шаг 3. Рассмотрим \(c^{10}\). Так как \(10 = 2 \cdot 5\), получаем \(c^{10} = (c^5)^2\).

Шаг 4. Проверка: \((c^5)^2 = c^{5 \cdot 2} = c^{10}\).

Шаг 5. Рассмотрим \(d^{32}\). Так как \(32 = 2 \cdot 16\), получаем \(d^{32} = (d^{16})^2\).

Шаг 6. Проверка: \((d^{16})^2 = d^{16 \cdot 2} = d^{32}\).

Шаг 7. Рассмотрим \(p^{44}\). Так как \(44 = 2 \cdot 22\), получаем \(p^{44} = (p^{22})^2\).

Шаг 8. Проверка: \((p^{22})^2 = p^{22 \cdot 2} = p^{44}\).

Шаг 9. Теперь перепишем всё выражение как произведение квадратов:

\(81c^{10} d^{32} p^{44} = 9^2 \cdot (c^5)^2 \cdot (d^{16})^2 \cdot (p^{22})^2\).

Шаг 10. Используем правило: \(u^2 v^2 w^2 t^2 = (uvwt)^2\).

Шаг 11. Получаем \(9^2 \cdot (c^5)^2 \cdot (d^{16})^2 \cdot (p^{22})^2 = (9c^5 d^{16} p^{22})^2\).

Шаг 12. Итог: \(81c^{10} d^{32} p^{44} = (9c^5 d^{16} p^{22})^2\).