ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Запишите в виде степени с показателем 3 выражение:

1) \(a^3 b^6\);

2) \(x^9 y^{15} \);

3) \(8x^{12} y^{18} z^{24}\);

4) \(0,001 m^{30} n^{45} \).

1) \(a^3 b^6 = (ab^2)^3\);

2) \(x^9 y^{15} = (x^3 y^5)^3\);

3) \(8x^{12} y^{18} z^{24} = (2x^4 y^6 z^8)^3\);

4) \(0,001 m^{30} n^{45} = (0,1 m^{10} n^{15})^3\).

Запишите в виде степени с показателем \(3\) выражение.

1) \(a^3 b^6 = (ab^2)^3\).

Шаг 1. Требуется представить выражение \(a^3 b^6\) в виде куба, то есть в форме \((\dots)^3\).

Шаг 2. Вспомним правило: \((uv)^3 = u^3 v^3\).

Шаг 3. Это означает, что если мы хотим получить \((\dots)^3\), нужно представить множители как третьи степени некоторых выражений.

Шаг 4. Рассмотрим множитель \(a^3\). Он уже является третьей степенью числа \(a\), то есть \(a^3 = (a)^3\).

Шаг 5. Рассмотрим множитель \(b^6\). Чтобы он стал кубом, показатель должен делиться на \(3\).

Шаг 6. Число \(6\) делится на \(3\): \(6 = 3 \cdot 2\).

Шаг 7. По правилу степеней \((b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6\).

Шаг 8. Значит, \(b^6\) можно представить как \((b^2)^3\).

Шаг 9. Тогда исходное выражение можно переписать так: \(a^3 b^6 = (a)^3 \cdot (b^2)^3\).

Шаг 10. Используем правило: \(u^3 \cdot v^3 = (uv)^3\).

Шаг 11. Получаем \((a)^3 \cdot (b^2)^3 = (ab^2)^3\).

Шаг 12. Итог: \(a^3 b^6 = (ab^2)^3\).

2) \(x^9 y^{15} = (x^3 y^5)^3\).

Шаг 1. Требуется представить \(x^9 y^{15}\) в виде \((\dots)^3\).

Шаг 2. Разложим показатели степеней на множители, содержащие \(3\).

Шаг 3. \(9 = 3 \cdot 3\), значит \(x^9 = x^{3 \cdot 3}\).

Шаг 4. По правилу \((x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9\).

Шаг 5. Следовательно, \(x^9 = (x^3)^3\).

Шаг 6. \(15 = 3 \cdot 5\), значит \(y^{15} = y^{3 \cdot 5}\).

Шаг 7. По правилу \((y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}\).

Шаг 8. Следовательно, \(y^{15} = (y^5)^3\).

Шаг 9. Тогда \(x^9 y^{15} = (x^3)^3 \cdot (y^5)^3\).

Шаг 10. Используем правило объединения кубов: \(u^3 \cdot v^3 = (uv)^3\).

Шаг 11. Получаем \((x^3)^3 \cdot (y^5)^3 = (x^3 y^5)^3\).

Шаг 12. Итог: \(x^9 y^{15} = (x^3 y^5)^3\).

3) \(8x^{12} y^{18} z^{24} = (2x^4 y^6 z^8)^3\).

Шаг 1. Требуется представить \(8x^{12} y^{18} z^{24}\) в виде куба.

Шаг 2. Начнём с числа \(8\). Оно является кубом числа \(2\), так как \(8 = 2^3\).

Шаг 3. Рассмотрим \(x^{12}\). Поскольку \(12 = 3 \cdot 4\), имеем \(x^{12} = x^{3 \cdot 4}\).

Шаг 4. По правилу \((x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}\), значит \(x^{12} = (x^4)^3\).

Шаг 5. Рассмотрим \(y^{18}\). Поскольку \(18 = 3 \cdot 6\), получаем \(y^{18} = (y^6)^3\), так как \((y^6)^3 = y^{6 \cdot 3} = y^{18}\).

Шаг 6. Рассмотрим \(z^{24}\). Поскольку \(24 = 3 \cdot 8\), получаем \(z^{24} = (z^8)^3\), так как \((z^8)^3 = z^{8 \cdot 3} = z^{24}\).

Шаг 7. Теперь перепишем всё выражение как произведение кубов:

\(8x^{12} y^{18} z^{24} = 2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^6)^3 \cdot (z^8)^3\).

Шаг 8. Используем правило: \(u^3 v^3 w^3 t^3 = (uvwt)^3\).

Шаг 9. Тогда \(2^3 \cdot (x^4)^3 \cdot (y^6)^3 \cdot (z^8)^3 = (2x^4 y^6 z^8)^3\).

Шаг 10. Итог: \(8x^{12} y^{18} z^{24} = (2x^4 y^6 z^8)^3\).

4) \(0,001 m^{30} n^{45} = (0,1 m^{10} n^{15})^3\).

Шаг 1. Требуется представить \(0,001 m^{30} n^{45}\) в виде \((\dots)^3\).

Шаг 2. Начнём с числа \(0,001\).

Шаг 3. Заметим, что \(0,1\) в кубе даёт \(0,001\), потому что \(0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001\), то есть \(0,001 = (0,1)^3\).

Шаг 4. Рассмотрим \(m^{30}\). Так как \(30 = 3 \cdot 10\), имеем \(m^{30} = (m^{10})^3\).

Шаг 5. Проверка: \((m^{10})^3 = m^{10 \cdot 3} = m^{30}\).

Шаг 6. Рассмотрим \(n^{45}\). Так как \(45 = 3 \cdot 15\), имеем \(n^{45} = (n^{15})^3\).

Шаг 7. Проверка: \((n^{15})^3 = n^{15 \cdot 3} = n^{45}\).

Шаг 8. Перепишем всё выражение как произведение кубов:

\(0,001 m^{30} n^{45} = (0,1)^3 \cdot (m^{10})^3 \cdot (n^{15})^3\).

Шаг 9. Используем правило объединения: \(u^3 \cdot v^3 \cdot w^3 = (uvw)^3\).

Шаг 10. Получаем \((0,1)^3 \cdot (m^{10})^3 \cdot (n^{15})^3 = (0,1 m^{10} n^{15})^3\).

Шаг 11. Итог: \(0,001 m^{30} n^{45} = (0,1 m^{10} n^{15})^3\).