ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени с основанием -5 выражение:

1) \(625^5 \);

2) \(((-25)^2)^3 \).

1) \(625^5 = ((-5)^4)^5 = (-5)^{20}\);

2) \(((-25)^2)^3 = (((-5)^2)^2)^3 = (-5)^{12}\).

Представьте в виде степени с основанием \(-5\) выражение.

1) \(625^5 = ((-5)^4)^5 = (-5)^{20}\).

Шаг 1. Нужно представить \(625^5\) в виде степени с основанием \(-5\), то есть получить выражение вида \((-5)^{\dots}\).

Шаг 2. Для этого сначала представим число \(625\) как степень числа \(-5\) или как степень числа \(5\), а затем свяжем это с \(-5\).

Шаг 3. Заметим, что \(625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\).

Шаг 4. Поэтому \(625 = 5^4\).

Шаг 5. Теперь свяжем \(5^4\) с \((-5)^4\). Так как степень \(4\) чётная, то \((-5)^4 = 5^4\).

Шаг 6. Следовательно, \(625 = 5^4 = (-5)^4\).

Шаг 7. Подставим это в исходное выражение: \(625^5 = \left((-5)^4\right)^5\).

Шаг 8. Применяем правило степени степени: \((a^m)^n = a^{mn}\).

Шаг 9. Здесь \(a=-5\), \(m=4\), \(n=5\), значит \(\left((-5)^4\right)^5 = (-5)^{4 \cdot 5}\).

Шаг 10. Перемножим показатели: \(4 \cdot 5 = 20\).

Шаг 11. Получаем \((-5)^{4 \cdot 5} = (-5)^{20}\).

Шаг 12. Итог: \(625^5 = ((-5)^4)^5 = (-5)^{20}\).

2) \(((-25)^2)^3 = (((-5)^2)^2)^3 = (-5)^{12}\).

Шаг 1. Нужно представить \(((-25)^2)^3\) в виде степени с основанием \(-5\).

Шаг 2. Начнём с числа \(-25\). Заметим, что \(-25 = (-5) \cdot 5\), но удобнее представить \(-25\) через \((-5)^2\) с учётом знака.

Шаг 3. Вычислим \((-5)^2\): \((-5)^2 = 25\).

Шаг 4. Следовательно, \(25 = (-5)^2\), а значит \(-25 = -((-5)^2)\), но в данном выражении \(-25\) стоит в квадрате.

Шаг 5. Рассмотрим \((-25)^2\). Так как квадрат делает число положительным, \((-25)^2 = 25^2\).

Шаг 6. Запишем \(25\) через \(-5\): \(25 = (-5)^2\).

Шаг 7. Тогда \(25^2 = \left((-5)^2\right)^2\).

Шаг 8. Значит, \((-25)^2 = 25^2 = \left((-5)^2\right)^2\), и исходное выражение можно переписать так:

\(((-25)^2)^3 = \left(\left((-5)^2\right)^2\right)^3\).

Шаг 9. Теперь применим правило степени степени поэтапно.

Шаг 10. Сначала упростим внутреннюю степень: \(\left((-5)^2\right)^2 = (-5)^{2 \cdot 2} = (-5)^4\).

Шаг 11. Тогда всё выражение становится \(\left((-5)^4\right)^3\).

Шаг 12. Применим правило степени степени ещё раз: \(\left((-5)^4\right)^3 = (-5)^{4 \cdot 3}\).

Шаг 13. Перемножим показатели: \(4 \cdot 3 = 12\).

Шаг 14. Получаем \((-5)^{4 \cdot 3} = (-5)^{12}\).

Шаг 15. Итог: \(((-25)^2)^3 = (((-5)^2)^2)^3 = (-5)^{12}\).