ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте в виде степени с основанием 2 выражение:

1) \(8^9 \cdot 4^5 \);

2) \(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 \).

1) \(8^9 \cdot 4^5 = (2^3)^9 \cdot (2^2)^5 = 2^{27} \cdot 2^{10} = 2^{37}\);

2) \(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^5 \cdot (2^4)^6 \cdot (2^6)^3 = 2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18} = 2^{47}\).

Представьте в виде степени с основанием \(2\) выражение.

1) \(8^9 \cdot 4^5 = (2^3)^9 \cdot (2^2)^5 = 2^{27} \cdot 2^{10} = 2^{37}\).

Шаг 1. Нужно представить выражение \(8^9 \cdot 4^5\) в виде одной степени с основанием \(2\), то есть получить \(2^{\dots}\).

Шаг 2. Для этого представим числа \(8\) и \(4\) как степени двойки.

Шаг 3. \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\), значит \(8 = 2^3\).

Шаг 4. \(4 = 2 \cdot 2\), значит \(4 = 2^2\).

Шаг 5. Подставим это в выражение: \(8^9 \cdot 4^5 = (2^3)^9 \cdot (2^2)^5\).

Шаг 6. Применим правило степени степени: \((a^m)^n = a^{mn}\).

Шаг 7. Тогда \((2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9}\).

Шаг 8. Перемножим показатели: \(3 \cdot 9 = 27\), значит \((2^3)^9 = 2^{27}\).

Шаг 9. Аналогично \((2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5}\).

Шаг 10. Перемножим показатели: \(2 \cdot 5 = 10\), значит \((2^2)^5 = 2^{10}\).

Шаг 11. Теперь выражение стало \(2^{27} \cdot 2^{10}\).

Шаг 12. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).

Шаг 13. Получаем \(2^{27} \cdot 2^{10} = 2^{27+10}\).

Шаг 14. Сложим показатели: \(27+10=37\).

Шаг 15. Получаем \(2^{27+10} = 2^{37}\).

Шаг 16. Итог: \(8^9 \cdot 4^5 = 2^{37}\).

2) \(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^5 \cdot (2^4)^6 \cdot (2^6)^3 = 2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18} = 2^{47}\).

Шаг 1. Нужно представить выражение \(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3\) в виде одной степени с основанием \(2\).

Шаг 2. Представим числа \(32\), \(16\) и \(64\) как степени двойки.

Шаг 3. \(32 = 2^5\), потому что \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\).

Шаг 4. \(16 = 2^4\), потому что \(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\).

Шаг 5. \(64 = 2^6\), потому что \(2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64\).

Шаг 6. Подставим это в исходное выражение:

\(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^5 \cdot (2^4)^6 \cdot (2^6)^3\).

Шаг 7. Применим правило степени степени: \((a^m)^n = a^{mn}\).

Шаг 8. \((2^4)^6 = 2^{4 \cdot 6}\).

Шаг 9. Перемножим показатели: \(4 \cdot 6 = 24\), значит \((2^4)^6 = 2^{24}\).

Шаг 10. \((2^6)^3 = 2^{6 \cdot 3}\).

Шаг 11. Перемножим показатели: \(6 \cdot 3 = 18\), значит \((2^6)^3 = 2^{18}\).

Шаг 12. Теперь выражение имеет вид \(2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18}\).

Шаг 13. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(2^5 \cdot 2^{24} \cdot 2^{18} = 2^{5+24+18}\).

Шаг 14. Сложим показатели по порядку: \(5+24=29\), затем \(29+18=47\).

Шаг 15. Получаем \(2^{5+24+18} = 2^{47}\).

Шаг 16. Итог: \(32 \cdot 16^6 \cdot 64^3 = 2^{47}\).