ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( (6^4)^4 : (6^5)^3  \);

2) \( 8^3 : 4^4 \);

3) \( \frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} \);

4) \( \frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}}  \);

5) \( \frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7}  \);

6) \( \frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6}  \).

1) \( (6^4)^4 : (6^5)^3 = 6^{16} : 6^{15} = 6^1 = 6 \);

2) \( 8^3 : 4^4 = (2^3)^3 : (2^2)^4 = 2^9 : 2^8 = 2^1 = 2 \);

3) \( \frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} = \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} = \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^0 = 1 \);

4) \( \frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} = \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} = \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} = \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^2 = 25 \);

5) \( \frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7} = \frac{(3 \cdot 7)^8}{21^7} = \frac{21^8}{21^7} = 21^1 = 21 \);

6) \( \frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{(5 \cdot 4)^6} = \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6} = 5^3 = 125 \).

1) \( (6^4)^4 : (6^5)^3 \)

Перепишем деление как дробь:

\( \frac{(6^4)^4}{(6^5)^3} \)

Используем правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

В числителе:

\( (6^4)^4 = 6^{4 \cdot 4} = 6^{16} \)

В знаменателе:

\( (6^5)^3 = 6^{5 \cdot 3} = 6^{15} \)

Получаем:

\( \frac{6^{16}}{6^{15}} \)

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{6^{16}}{6^{15}} = 6^{16-15} = 6^1 \)

\( 6^1 = 6 \)

Ответ: \( 6 \).

2) \( 8^3 : 4^4 \)

Перепишем как дробь:

\( \frac{8^3}{4^4} \)

Выразим \( 8 \) и \( 4 \) через основание \( 2 \): \( 8 = 2^3 \), \( 4 = 2^2 \).

\( \frac{(2^3)^3}{(2^2)^4} \)

Применяем правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

Числитель:

\( (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \)

Знаменатель:

\( (2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8 \)

Получаем:

\( \frac{2^9}{2^8} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 \)

\( 2^1 = 2 \)

Ответ: \( 2 \).

3) \( \frac{7^{14} \cdot (7^2)^3}{(7^3)^6 \cdot 7^2} \)

Сначала упростим степени степени в числителе и знаменателе, используя \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

В числителе:

\( (7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6 \)

Тогда числитель становится:

\( 7^{14} \cdot 7^6 \)

В знаменателе:

\( (7^3)^6 = 7^{3 \cdot 6} = 7^{18} \)

Тогда знаменатель становится:

\( 7^{18} \cdot 7^2 \)

Подставляем:

\( \frac{7^{14} \cdot 7^6}{7^{18} \cdot 7^2} \)

Соберём степени с одинаковым основанием в числителе и знаменателе, используя \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Числитель:

\( 7^{14} \cdot 7^6 = 7^{14+6} = 7^{20} \)

Знаменатель:

\( 7^{18} \cdot 7^2 = 7^{18+2} = 7^{20} \)

Получаем:

\( \frac{7^{20}}{7^{20}} \)

Деление одинаковых ненулевых величин даёт 1. Также можно через степени: \( \frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0 \).

\( \frac{7^{20}}{7^{20}} = 7^{20-20} = 7^0 \)

По правилу: \( a^0 = 1 \) при \( a \neq 0 \).

\( 7^0 = 1 \)

Ответ: \( 1 \).

4) \( \frac{25^3 \cdot 125^2}{5^{10}} \)

Переведём числа \( 25 \) и \( 125 \) в степени числа \( 5 \): \( 25 = 5^2 \), \( 125 = 5^3 \).

\( \frac{(5^2)^3 \cdot (5^3)^2}{5^{10}} \)

Применяем правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\( (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 \)

\( (5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 \)

Подставляем:

\( \frac{5^6 \cdot 5^6}{5^{10}} \)

В числителе перемножим степени с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\( 5^6 \cdot 5^6 = 5^{6+6} = 5^{12} \)

Получаем:

\( \frac{5^{12}}{5^{10}} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{5^{12}}{5^{10}} = 5^{12-10} = 5^2 \)

\( 5^2 = 25 \)

Ответ: \( 25 \).

5) \( \frac{3^8 \cdot 7^8}{21^7} \)

Заметим, что \( 21 = 3 \cdot 7 \). Тогда числитель можно представить как степень произведения.

Используем правило: \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \).

\( 3^8 \cdot 7^8 = (3 \cdot 7)^8 = 21^8 \)

Тогда выражение становится:

\( \frac{21^8}{21^7} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{21^8}{21^7} = 21^{8-7} = 21^1 \)

\( 21^1 = 21 \)

Ответ: \( 21 \).

6) \( \frac{5^9 \cdot 4^6}{20^6} \)

Разложим \( 20 \) на множители: \( 20 = 5 \cdot 4 \).

Тогда знаменатель:

\( 20^6 = (5 \cdot 4)^6 \)

Подставляем:

\( \frac{5^9 \cdot 4^6}{(5 \cdot 4)^6} \)

Используем правило степени произведения: \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \).

\( (5 \cdot 4)^6 = 5^6 \cdot 4^6 \)

Тогда выражение:

\( \frac{5^9 \cdot 4^6}{5^6 \cdot 4^6} \)

Теперь сократим одинаковый множитель \( 4^6 \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{5^9 \cdot {4^6}}{5^6 \cdot {4^6}} = \frac{5^9}{5^6} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{5^9}{5^6} = 5^{9-6} = 5^3 \)

\( 5^3 = 125 \)

Ответ: \( 125 \).