ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите:

1) \( 100^5 : 1000^2  \);

2) \( \frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} \);

3) \( \frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} \);

4) \( \frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}  \).

1) \( 100^5 : 1000^2 = (10^2)^5 : (10^3)^2 = 10^{10} : 10^6 = 10^4 = 10\,000 \);

2) \( \frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} = \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3} = \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^4 = 81 \);

3) \( \frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} = \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} = \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} = \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^2 = 4 \);

4) \( \frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{(5 \cdot 9)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{5^{10} \cdot (3^2)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} = \frac{5^2 \cdot 3^{20}}{1 \cdot 3^{19}} = 5^2 \cdot 3^1 = = 25 \cdot 3 = 75 \).

1) \( 100^5 : 1000^2 \)

Перепишем деление как дробь:

\( \frac{100^5}{1000^2} \)

Представим числа \( 100 \) и \( 1000 \) как степени числа \( 10 \):

\( 100 = 10^2 \), поэтому \( 100^5 = (10^2)^5 \).

\( 1000 = 10^3 \), поэтому \( 1000^2 = (10^3)^2 \).

Подставляем:

\( \frac{(10^2)^5}{(10^3)^2} \)

Применяем правило степени степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

Числитель:

\( (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10} \)

Знаменатель:

\( (10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6 \)

Получаем:

\( \frac{10^{10}}{10^6} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{10^{10}}{10^6} = 10^{10-6} = 10^4 \)

Вычислим \( 10^4 \):

\( 10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000 \)

В записи с пробелом для разрядов:

\( 10000 = 10\,000 \)

Ответ: \( 10\,000 \).

2) \( \frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3} \)

Упростим выражения вида “степень степени”, используя \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

В числителе:

\( (3^3)^5 = 3^{3 \cdot 5} = 3^{15} \)

Тогда числитель становится:

\( 3^{10} \cdot 3^{15} \)

В знаменателе:

\( (3^5)^4 = 3^{5 \cdot 4} = 3^{20} \)

Знаменатель равен:

\( 3^{20} \cdot 3 \)

Перепишем \( 3 \) как степень тройки:

\( 3 = 3^1 \)

Тогда знаменатель:

\( 3^{20} \cdot 3^1 \)

Подставляем всё в исходную дробь:

\( \frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3^1} \)

Соберём степени в числителе и знаменателе по правилу \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Числитель:

\( 3^{10} \cdot 3^{15} = 3^{10+15} = 3^{25} \)

Знаменатель:

\( 3^{20} \cdot 3^1 = 3^{20+1} = 3^{21} \)

Получаем:

\( \frac{3^{25}}{3^{21}} \)

Делим степени с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{3^{25}}{3^{21}} = 3^{25-21} = 3^4 \)

Вычислим \( 3^4 \):

\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \)

Ответ: \( 81 \).

3) \( \frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}} \)

Приведём все числа к основанию \( 2 \), потому что в знаменателе уже стоит \( 2^{12} \).

\( 4 = 2^2 \), значит \( 4^3 = (2^2)^3 \).

\( 16 = 2^4 \), значит \( 16^2 = (2^4)^2 \).

Подставляем:

\( \frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}} \)

Упростим “степень степени” по правилу \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)

\( (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8 \)

Получаем:

\( \frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}} \)

Перемножим степени в числителе: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\( 2^6 \cdot 2^8 = 2^{6+8} = 2^{14} \)

Теперь дробь:

\( \frac{2^{14}}{2^{12}} \)

Делим степени: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14-12} = 2^2 \)

Вычислим:

\( 2^2 = 4 \)

Ответ: \( 4 \).

4) \( \frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} \)

Разложим \( 45 \) так, чтобы появились множители \( 5 \) и \( 3 \), которые есть в знаменателе.

\( 45 = 5 \cdot 9 \), поэтому:

\( 45^{10} = (5 \cdot 9)^{10} \)

Перепишем дробь:

\( \frac{(5 \cdot 9)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} \)

Применим правило степени произведения: \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \).

\( (5 \cdot 9)^{10} = 5^{10} \cdot 9^{10} \)

Тогда:

\( \frac{5^{10} \cdot 9^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}} \)

Теперь разложим \( 9 \) как степень тройки: \( 9 = 3^2 \).

Тогда:

\( 9^{10} = (3^2)^{10} \)

И по правилу степени степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\( (3^2)^{10} = 3^{2 \cdot 10} = 3^{20} \)

Подставляем:

\( \frac{5^{10} \cdot 3^{20}}{5^8 \cdot 3^{19}} \)

Разделим дробь на две части: отдельно по основанию \( 5 \) и отдельно по основанию \( 3 \), применяя правило \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Для степеней пятёрки:

\( \frac{5^{10}}{5^8} = 5^{10-8} = 5^2 \)

Для степеней тройки:

\( \frac{3^{20}}{3^{19}} = 3^{20-19} = 3^1 \)

Тогда вся дробь равна произведению результатов:

\( 5^2 \cdot 3^1 \)

Вычислим степени:

\( 5^2 = 25 \)

\( 3^1 = 3 \)

Перемножим:

\( 25 \cdot 3 = 75 \)

Ответ: \( 75 \).