ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:

1) \( \left(1\frac{1}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10} \);

2) \( 5^{14} \cdot 0,2^{12}  \);

3) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8  \).

1) \( \left(1\frac{1}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10} = \left(\frac{7}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10} = \frac{7^9 \cdot 6^{10}}{6^9 \cdot 7^{10}} = \frac{6}{7} \);

2) \( 5^{14} \cdot 0,2^{12} = 5^2 \cdot 5^{12} \cdot 0,2^{12} = 5^2 \cdot (5 \cdot 0,2)^{12} = 5^2 \cdot 1^{12} =\)

\(= 25 \cdot 1 = 25 \);

3) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 = \left(-\frac{4}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 = -\frac{4^5 \cdot 3^8}{3^5 \cdot 4^8} = -\frac{1 \cdot 3^3}{1 \cdot 4^3} = -\frac{27}{64} \).

1) \( \left(1\frac{1}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10} \)

Сначала преобразуем смешанное число \( 1\frac{1}{6} \) в неправильную дробь.

Знаменатель остаётся \( 6 \), числитель: \( 1 \cdot 6 + 1 = 7 \).

\( 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6} \)

Подставляем:

\( \left(\frac{7}{6}\right)^9 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{10} \)

Раскроем степени дробей по правилу: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).

\( \left(\frac{7}{6}\right)^9 = \frac{7^9}{6^9} \)

\( \left(\frac{6}{7}\right)^{10} = \frac{6^{10}}{7^{10}} \)

Тогда произведение равно:

\( \frac{7^9}{6^9} \cdot \frac{6^{10}}{7^{10}} \)

Перемножим дроби по правилу \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \):

\( \frac{7^9 \cdot 6^{10}}{6^9 \cdot 7^{10}} \)

Теперь сократим степени одинаковых оснований.

Для числа \( 6 \): \( \frac{6^{10}}{6^9} = 6^{10-9} = 6^1 = 6 \).

Для числа \( 7 \): \( \frac{7^9}{7^{10}} = 7^{9-10} = 7^{-1} = \frac{1}{7} \).

Можно выполнить сокращение прямо в общей дроби:

\( \frac{7^9 \cdot 6^{10}}{6^9 \cdot 7^{10}} = \frac{6^{10-9}}{7^{10-9}} = \frac{6^1}{7^1} \)

\( \frac{6^1}{7^1} = \frac{6}{7} \)

Ответ: \( \frac{6}{7} \).

2) \( 5^{14} \cdot 0,2^{12} \)

Заметим, что \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \).

Тогда:

\( 0,2^{12} = \left(\frac{1}{5}\right)^{12} \)

Подставляем в выражение:

\( 5^{14} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{12} \)

Применим правило степени дроби: \( \left(\frac{1}{5}\right)^{12} = \frac{1^{12}}{5^{12}} = \frac{1}{5^{12}} \).

Получаем:

\( 5^{14} \cdot \frac{1}{5^{12}} \)

Перепишем как одну дробь:

\( \frac{5^{14}}{5^{12}} \)

Делим степени с одинаковым основанием по правилу \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{5^{14}}{5^{12}} = 5^{14-12} = 5^2 \)

Вычислим \( 5^2 \):

\( 5^2 = 25 \)

Ответ: \( 25 \).

3) \( \left(-1\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 \)

Сначала преобразуем смешанное число \( -1\frac{1}{3} \) в неправильную дробь с минусом.

\( 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \)

Тогда:

\( -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3} \)

Подставляем:

\( \left(-\frac{4}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 \)

Разберём знак у первой степени: нечётная степень сохраняет минус.

\( \left(-\frac{4}{3}\right)^5 = -\left(\frac{4}{3}\right)^5 \)

Тогда всё выражение:

\( -\left(\frac{4}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8 \)

Раскроем степени дробей по правилу \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).

\( \left(\frac{4}{3}\right)^5 = \frac{4^5}{3^5} \)

\( \left(\frac{3}{4}\right)^8 = \frac{3^8}{4^8} \)

Подставляем:

\( -\frac{4^5}{3^5} \cdot \frac{3^8}{4^8} \)

Перемножим дроби:

\( -\frac{4^5 \cdot 3^8}{3^5 \cdot 4^8} \)

Сократим степени одинаковых оснований, используя \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Для числа \( 3 \):

\( \frac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3 \)

Для числа \( 4 \):

\( \frac{4^5}{4^8} = 4^{5-8} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} \)

Тогда выражение становится:

\( -\frac{3^3}{4^3} \)

Вычислим степени:

\( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)

\( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)

Подставляем:

\( -\frac{27}{64} \)

Ответ: \( -\frac{27}{64} \).