ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:

1) \( 10^5 \cdot 0,1^7 \)

2) \( 1,9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15}  \).

1) \( 10^5 \cdot 0,1^7 = 10^5 \cdot 0,1^5 \cdot 0,1^2 = (10 \cdot 0,1)^5 \cdot 0,1^2 = 1^5 \cdot 0,01 =\)

\(= 1 \cdot 0,01 = 0,01 \);

2) \( 1,9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15} = \left(\frac{19}{10}\right)^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15} = \frac{19^{14} \cdot 10^{15}}{10^{14} \cdot 19^{15}} = \frac{10}{19} \).

1) \( 10^5 \cdot 0,1^7 \)

Нужно упростить произведение степеней, используя свойства степеней и удобные преобразования десятичных дробей.

Разобьём степень \( 0,1^7 \) на произведение \( 0,1^5 \cdot 0,1^2 \), потому что рядом есть множитель \( 10^5 \), и удобно объединить \( 10^5 \) именно с \( 0,1^5 \).

\( 10^5 \cdot 0,1^7 = 10^5 \cdot 0,1^5 \cdot 0,1^2 \)

Теперь используем правило: \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \). Здесь \( a = 10 \), \( b = 0,1 \), \( n = 5 \).

\( 10^5 \cdot 0,1^5 = (10 \cdot 0,1)^5 \)

Тогда всё выражение становится:

\( (10 \cdot 0,1)^5 \cdot 0,1^2 \)

Вычислим произведение в скобках:

\( 10 \cdot 0,1 = 1 \)

Подставляем:

\( 1^5 \cdot 0,1^2 \)

Вычислим \( 1^5 \). Любая степень единицы равна 1:

\( 1^5 = 1 \)

Получаем:

\( 1 \cdot 0,1^2 \)

Теперь найдём \( 0,1^2 \). Это \( 0,1 \cdot 0,1 \):

\( 0,1^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01 \)

Тогда:

\( 1 \cdot 0,01 = 0,01 \)

Ответ: \( 0,01 \).

2) \( 1,9^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15} \)

Здесь удобно заменить десятичное число \( 1,9 \) дробью, чтобы появились те же числа \( 10 \) и \( 19 \), что и во второй степени.

Представим \( 1,9 \) как дробь:

\( 1,9 = \frac{19}{10} \), потому что \( 1,9 = \frac{19}{10} \).

Тогда:

\( 1,9^{14} = \left(\frac{19}{10}\right)^{14} \)

Подставляем в исходное выражение:

\( \left(\frac{19}{10}\right)^{14} \cdot \left(\frac{10}{19}\right)^{15} \)

Раскроем степени дробей по правилу \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \).

\( \left(\frac{19}{10}\right)^{14} = \frac{19^{14}}{10^{14}} \)

\( \left(\frac{10}{19}\right)^{15} = \frac{10^{15}}{19^{15}} \)

Перемножим дроби:

\( \frac{19^{14}}{10^{14}} \cdot \frac{10^{15}}{19^{15}} = \frac{19^{14} \cdot 10^{15}}{10^{14} \cdot 19^{15}} \)

Теперь сократим степени одинаковых оснований, используя правило \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Сначала для числа \( 10 \):

\( \frac{10^{15}}{10^{14}} = 10^{15-14} = 10^1 = 10 \)

Теперь для числа \( 19 \):

\( \frac{19^{14}}{19^{15}} = 19^{14-15} = 19^{-1} = \frac{1}{19} \)

Тогда всё выражение равно:

\( 10 \cdot \frac{1}{19} = \frac{10}{19} \)

Ответ: \( \frac{10}{19} \).