ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сравните значения выражений:

1) \( (-5)^{21} \cdot (-5)\) и \((-5)^{24} \)

2) \( (-7)^8 \cdot (-7)^7 \) и \( (-7)^{17} \)

3) \( (-8)^5 \cdot (-8)^4 \) и \( (-8)^8 \)

4) \( (-6)^3 \cdot (-6)^9 \) и \( (-6)^{13} \)

1) \( (-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24} \)

\( (-5)^{22} < (-5)^{24} \)

\( 5^{22} < 5^{24} \).

2) \( (-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17} \)

\( (-7)^{15} > (-7)^{17} \).

3) \( (-8)^5 \cdot (-8)^4 < (-8)^8 \)

\( (-8)^9 < (-8)^8 \)

\( -8^9 < 8^8 \).

4) \( (-6)^3 \cdot (-6)^9 > (-6)^{13} \)

\( (-6)^{12} > (-6)^{13} \)

\( 6^{12} > (-6)^{13} \).

1) \( (-5)^{21} \cdot (-5) \ ? \ (-5)^{24} \)

Левая часть содержит произведение степеней с одинаковым основанием \( (-5) \).

Запишем множитель \( (-5) \) как степень: \( (-5) = (-5)^1 \).

\( (-5)^{21} \cdot (-5) = (-5)^{21} \cdot (-5)^1 \)

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\( (-5)^{21} \cdot (-5)^1 = (-5)^{21+1} = (-5)^{22} \)

Теперь сравниваем:

\( (-5)^{22} \ ? \ (-5)^{24} \)

Заметим, что степени \( 22 \) и \( 24 \) чётные, значит обе степени положительны:

\( (-5)^{22} = 5^{22} \), \( (-5)^{24} = 5^{24} \)

Получаем сравнение положительных степеней с одинаковым основанием \( 5 \):

\( 5^{22} \ ? \ 5^{24} \)

Так как основание \( 5 > 1 \), то при увеличении показателя степень увеличивается. Поскольку \( 22 < 24 \), то:

\( 5^{22} < 5^{24} \)

Значит:

\( (-5)^{21} \cdot (-5) < (-5)^{24} \)

2) \( (-7)^8 \cdot (-7)^7 \ ? \ (-7)^{17} \)

В левой части произведение степеней с одинаковым основанием \( (-7) \).

Используем правило: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

\( (-7)^8 \cdot (-7)^7 = (-7)^{8+7} = (-7)^{15} \)

Теперь сравниваем:

\( (-7)^{15} \ ? \ (-7)^{17} \)

Обе степени имеют нечётные показатели, значит обе величины отрицательные:

\( (-7)^{15} < 0 \), \( (-7)^{17} < 0 \)

Сравним по модулю. Для нечётных степеней:

\( (-7)^{15} = -7^{15} \), \( (-7)^{17} = -7^{17} \)

Получаем:

\( -7^{15} \ ? \ -7^{17} \)

Так как \( 7^{17} > 7^{15} \), то число \( -7^{17} \) более отрицательное, то есть меньше.

Следовательно:

\( -7^{15} > -7^{17} \)

Значит:

\( (-7)^{15} > (-7)^{17} \)

Итак:

\( (-7)^8 \cdot (-7)^7 > (-7)^{17} \)

3) \( (-8)^5 \cdot (-8)^4 \ ? \ (-8)^8 \)

Слева произведение степеней с одинаковым основанием \( (-8) \).

\( (-8)^5 \cdot (-8)^4 = (-8)^{5+4} = (-8)^9 \)

Сравниваем:

\( (-8)^9 \ ? \ (-8)^8 \)

Определим знак каждой степени:

Показатель \( 9 \) нечётный, значит \( (-8)^9 \) отрицательное:

\( (-8)^9 = -8^9 \)

Показатель \( 8 \) чётный, значит \( (-8)^8 \) положительное:

\( (-8)^8 = 8^8 \)

Тогда сравнение превращается в:

\( -8^9 \ ? \ 8^8 \)

Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому:

\( -8^9 < 8^8 \)

Значит:

\( (-8)^9 < (-8)^8 \)

Итак:

\( (-8)^5 \cdot (-8)^4 < (-8)^8 \)

4) \( (-6)^3 \cdot (-6)^9 \ ? \ (-6)^{13} \)

Слева произведение степеней с одинаковым основанием \( (-6) \).

\( (-6)^3 \cdot (-6)^9 = (-6)^{3+9} = (-6)^{12} \)

Теперь сравниваем:

\( (-6)^{12} \ ? \ (-6)^{13} \)

Определим знак:

Показатель \( 12 \) чётный, значит:

\( (-6)^{12} = 6^{12} \) и это положительное число.

Показатель \( 13 \) нечётный, значит:

\( (-6)^{13} = -6^{13} \) и это отрицательное число.

Сравниваем положительное и отрицательное:

\( 6^{12} \ ? \ -6^{13} \)

Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому:

\( 6^{12} > -6^{13} \)

Значит:

\( (-6)^{12} > (-6)^{13} \)

Итак:

\( (-6)^3 \cdot (-6)^9 > (-6)^{13} \)