ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Замените звездочку степенью так, чтобы выполнялось равенство:

1) \( 8 \cdot * = 2^8 \)

2) \( a^n \cdot * = a^{3n+2} \), где n — натуральное число.

1) \( 8 \cdot * = 2^8 \)

\( 2^3 \cdot * = 2^8 \)

\( * = 2^8 : 2^3 \)

\( * = 2^5 \).

2) \( a^n \cdot * = a^{3n+2} \)

\( * = a^{3n+2} : a^n \)

\( * = a^{3n+2-n} \)

\( * = a^{2n+2} \).

1) \( 8 \cdot * = 2^8 \)

Нужно найти, какую степень следует поставить вместо \( * \), чтобы равенство стало верным.

Сначала представим число \( 8 \) в виде степени числа \( 2 \), потому что справа стоит \( 2^8 \).

\( 8 = 2^3 \)

Подставим это в равенство:

\( 8 \cdot * = 2^8 \Rightarrow 2^3 \cdot * = 2^8 \)

Теперь нужно “убрать” множитель \( 2^3 \) из левой части. Для этого разделим обе части равенства на \( 2^3 \).

\( 2^3 \cdot * = 2^8 \)

\( * = \frac{2^8}{2^3} \)

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\( \frac{2^8}{2^3} = 2^{8-3} \)

Вычтем показатели:

\( 8-3 = 5 \)

Получаем:

\( * = 2^5 \)

Проверка: \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 \), равенство верно.

2) \( a^n \cdot * = a^{3n+2} \)

Нужно найти выражение вида степени \( a \), которое надо поставить вместо \( * \).

Рассуждаем так же: чтобы получить \( a^{3n+2} \), умножаем \( a^n \) на некоторую степень \( a^k \).

Пусть \( * = a^k \). Тогда по правилу умножения степеней с одинаковым основанием \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) получим:

\( a^n \cdot a^k = a^{n+k} \)

По условию это должно равняться \( a^{3n+2} \), значит показатели должны быть равны:

\( n+k = 3n+2 \)

Найдём \( k \) (перенесём \( n \) в правую часть):

\( k = 3n+2-n \)

Соберём подобные:

\( 3n-n = 2n \)

Тогда:

\( k = 2n+2 \)

Значит:

\( * = a^{2n+2} \)

Проверка: \( a^n \cdot a^{2n+2} = a^{n+(2n+2)} = a^{3n+2} \), равенство верно.