ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 7.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Представьте выражение \( a^{12} \) в виде произведения двух степеней с основаниями a, одна из которых равна:

1) \( a^6 \);

2) \(a^4  \);

3) \(a^3\);

4) \( a^5  \);

5) \(a \).

1) \( a^{12} = a^6 \cdot a^6 \);

2) \( a^{12} = a^4 \cdot a^8 \);

3) \( a^{12} = a^3 \cdot a^9 \);

4) \( a^{12} = a^5 \cdot a^7 \);

5) \( a^{12} = a \cdot a^{11} \).

Для решения используем основное свойство степеней с одинаковым основанием:

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Это означает, что если требуется представить \( a^{12} \) в виде произведения двух степеней с основанием \( a \), то показатели этих степеней должны в сумме давать \(12\).

1) Одна из степеней равна \( a^6 \).

Обозначим вторую степень как \( a^x \).

Тогда:

\( a^6 \cdot a^x = a^{6+x} \).

По условию:

\( a^{6+x} = a^{12} \).

Следовательно:

\( 6 + x = 12 \).

\( x = 6 \).

Получаем:

\( a^{12} = a^6 \cdot a^6 \).

2) Одна из степеней равна \( a^4 \).

Пусть вторая степень равна \( a^x \).

Тогда:

\( a^4 \cdot a^x = a^{4+x} \).

Приравниваем показатель степени к \(12\):

\( 4 + x = 12 \).

\( x = 8 \).

Следовательно:

\( a^{12} = a^4 \cdot a^8 \).

3) Одна из степеней равна \( a^3 \).

Пусть вторая степень равна \( a^x \).

\( a^3 \cdot a^x = a^{3+x} \).

Требуется, чтобы:

\( 3 + x = 12 \).

\( x = 9 \).

Тогда:

\( a^{12} = a^3 \cdot a^9 \).

4) Одна из степеней равна \( a^5 \).

Обозначим вторую степень как \( a^x \).

\( a^5 \cdot a^x = a^{5+x} \).

Из условия:

\( 5 + x = 12 \).

\( x = 7 \).

Следовательно:

\( a^{12} = a^5 \cdot a^7 \).

5) Одна из степеней равна \( a \).

Заметим, что \( a = a^1 \).

Пусть вторая степень равна \( a^x \).

\( a^1 \cdot a^x = a^{1+x} \).

Требуется:

\( 1 + x = 12 \).

\( x = 11 \).

Тогда:

\( a^{12} = a \cdot a^{11} \).